Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

1.2-ta’rif. Differensial tenglamaning tartibi deb, tenglamaga kirgan hosilaning eng yuqori tartibiga aytiladi.
Masalan, a) , b) . Bu yerda (a) misoldagi tenglama birinchi tartibli differensial tenglama va (b) misoldagi tenglama esa ikkinchi tartibli differensial tenglamadir, …
1.3-ta’rif. Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb, differensial tenglamaga qo‘yganda uni ayniyatga aylantiradigan barcha funksiyaga aytiladi.
Misol. birinchi tartibli differensial tenglama berilgan bo‘lsin. Yuqoridagi tenglamaning yechimlari ko‘rinishdagi barcha funksiyalar bo‘ladi, bu yerda ixtiyoriy o‘garmas miqdor. Agar funksiyani differensiallab , olingan natijani va ning dastlabki ifodasiga qo‘yib,

ayniyatni hosil qilamiz. Bundan ko‘rinadiki yuqoridagi differensial tenglamaning cheksiz ko‘p yechimlari bor.
1.4-tarif. Birinchi tartibli chiziqli tenglama deb, noma’lum funksiyaga va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo‘lgan tenglamaga aytiladi.
Birinchi tartibli chiziqli tenglama quyidagi
ko‘rinishda bo‘lib, va funksiyalar ning berilgan uzluksiz funksiyalari (yoki o‘zgarmas sonlar).
Bunday tenglamaning yechimini topish uchun quyidagicha almashtirish olamiz:

Bu funksiyalardan birini ixtiyoriy olish mumkin, ikkinchisi esa (1.1) tenglamaga asosan aniqlanadi.
(1.2) tenglikning ikkala tomonini differensiallaymiz:



yoki

funksiyani

tenglama o‘rinli bo‘ladigan qilib tanlaymiz. Bu differensial tenglamada o‘zgaruvchilarni ga nisbatan ajratamiz:

Bu tenglikni integrallaymiz:

yoki (1.4) tenglamaning noldan farqli biror yechimini topish yetarli bo‘lgani uchun funksiya deb

ni olishimiz mumkin, bu yerda biror boshlang‘ich funksiya, bo‘lishi o‘z-o‘zidan ravshan.
funksiyaning topilgan qiymatini (1.3) tenglamaga qo‘yib ekanini etiborga olib),

yoki
tenglamani hosil qilamiz, bundan

ekani kelib chiqadi. va ning bu qiymatini (1.2) formulaga qo‘ysak, natijada

yoki

hosil bo‘adi.
Agar (1.5) tenglik yordamida aniqlangan funksiya o‘rniga biror funksiyani olsak, (1.6) ifodaning o‘zgarmasligi ravshan. Haqiqatdan ham, (1.6) tenglikdagi ning o‘rniga ni qo‘ysak,

tenglik hosil bo‘ladi. Birinchi qo‘shiluvchidagi qisqarib ketadi; ikkinchi qo‘shiluvchidagi ko‘paytma ixtiyoriy o‘zgarmas sondir, uni bitta harfi bilan belgilasak, yana (1.6) ifodaga kelamiz. Agar

deb belgilasak, u holda (1.6) ifoda quyidagi ko‘rinishni oladi.

Bu umumiy integral bo‘ladi, chunki ning bo‘lganda boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi qiymatini tanlab olish mumkin. ning bunday qiymati

tenglikdan aniqlanadi.
1-misol. differensial tenglamaning umumiy echimini toping.
Yechish. Berilgan tenglama birinchi tartibli chiziqli tenglama bo‘lib ligini hisobga olib (1.2) formulaga asosan,
umumiy echim bo‘ladi.