Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Bernulli differensial tenglamasi va uning tadbiqlari
§2. Bernulli tenglamasi
2.1-ta’rif. Ushbu
(2.1)
ko‘rinishdagi differensial tenglamaga Bernulli differensial tenglamasi deyiladi, bu yerda P(x) va Q(x) lar x ning berilgan uzluksiz funksiyalari, -biror o‘zgarmas haqiqiy son Ravshanki agar bo‘lsa, (2.1) tenglamadan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama hosil bo‘ladi, bu tenglamani 1-§ o‘rgangan edik.
Agar bo‘lsa, (2.1) tenglamadan yoki
tenglamaga kelamiz. Bu esa o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadan iboratdir.
Demak, (2.1) differensial tenglamada bo‘lganda bizga ma’lum differensial tenglamalar hosil bo‘ladi. Endi deb faraz qilamiz.
Teorema. Agar P(x), Q(x) funksiyalar Jx oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, bo‘lsa u holda sohaning ixtiyoriy olingan (x₀; y₀) nuqtasidan (2.1) tenglamaning Jx oraliqda aniqlangan bitta integral chizig‘i o‘tadi.
Isboti. (2.1) tenglamadan

va bo‘lgani uchun bu funksiya D sohada uzluksiz bo‘ladi.
Demak, Koshi teoremasiga ko‘ra D sohaning ixtiyoriy (x₀; y₀) nuqtasidan (2.1) differensial tenglamaning bitta integral chizig‘i o‘tadi.
Agar bo‘lsa, bo‘lganda Bernulli differensial tenglamasining yechimi bo‘ladi. Bu xususiy yechimdir. Ammo bo‘lganda funksiya y=0 da uzilishga ega va nuqtada yechimning yagonaligi buzulishi mumkin. Ammo bo‘lsa, funksiya maxsus yechim bo‘ladi ya’ni, ning har bir nuqtasida orqali kamida bitta (ko‘rilayotgan holda birdan ortiq) integral chiziq o‘tadi. Buni ko‘rsatish uchun avval (2.1) ni da birinchi tartibli chiziqli tenglamaga keltirib, kvadraturalarda integrallash mumkinligini ko‘rsatamiz. deylik. (2.1) tenglamaning ikkala tomonini ga bo‘lamiz.
(2.2)
va
, (2.3)
ko‘rinishda almashtirishni bajaramiz. (2.3) ni x ga nisbatan differensiallaymiz:

yoki
(2.4)
(2.3) va (2.4) ga asosan (2.2) ning ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
,
yoki
(2.5)
(2.5) tenglama esa z ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan iborat.
Shuning uchun buning umumiy yechimi (integrali) quyidagicha bo‘ladi.
(2.6)
Endi z dan y ga (2.3) tenglikdan foydalanib qaytsak, u holda (2.1) Bernulli differensial tenglamasining umumiy integralini hosil qilamiz.
(2.7)
(2.6) tenglikni z=CA(x)+B(x)
ko‘rinishda yozib olaylik, bu yerda A(x), B(x) lar Jx oraliqda uzluksiz funksiyalar. U holda (2.1) ning umumiy yechimi:
Agar x=x₀, y=y₀=0 va
bo‘lsa, bu formula yordamida ushbu tenglamadan C ning yagona qiymatini topa olamiz, ya’ni
.
Shunday qilib, (x₀;0) nuqtadan

integral chiziq o‘tadi.
Ravshanki, bo‘lganda (2.1) tenglama
yechimga ega. Bu yechim ham (x₀;0) nuqtadan o‘tadigan integral chiziqni ifodalaydi. Demak, Bernulli differensial tenglamasi kvadraturalarda integrallanadi;
2) Benulli differensial tenglamasi
bo‘lganda maxsus yechimga ega.