Bir o’zgaruvchili funksiya uchun differensial hisob hosilavauni hisoblash Tarif

 

Hosilaning geometrik manosi. Faraz qilaylik, (a,b)  integralda uzluksiz y =  f (x) 

funkstiya berilgan bo’lsin. Uning grafigi G uzliksiz egri chiziq bo’ladi.G da 

A(x, f(x)) nuqta olib, shu nuqtada G ga urinib o’tgan to’g’ri chiziq, ya’ni urinmani topish 

masalalarini ko’raylik. Buning uchun G da boshqa N(x+h,f (x+h)) nuqtani olaylik, bu 

yerda

       A va N nuqtalardan o’tgan to’g’ri chiziqning Ox o’qi bilan tashkil etgan 

burchagi

   bo’lsa

        

 

 

     

 

 

deb faraz qilamiz 81 – rasmda

          

                 

⁄           

⁄ larga teng bo’lmagan biror   limit ga ega bo’lsa, u holda 

   

   

  

 

     

   

                                               (3) 

Limit mavjud va u f ning x bo’yicha hosilasiga teng, ya’ni 

 

 

( )  =  tg                                                                       

(4)   

---

 

 

Va aksincha, agar chekli

  

 

( ) hosila mavjud bo’lsa u holda        

      

 

( ) bo’ladi. Bunda to’g’ri chiziq A nuqtadan o’tib, Ox o’q bilan   burchak 

tashkil etgan AB to’g’ri chiziq holatini egallashga intiladi. 

 

G egri chiziq bilan bitta umumiy A nuqtaga ega bo’lgan BA to’g’ri chiziq G ga A 

nuqtada o’tkazilgan urinma deb ataladi. 

 

Biz hozir, agar y = f(x) funkstiya biror x nuqtada chekli

  

 

( )hosilaga ega bo’lsa, u 

holda funkstiyaning G grafigiga burchak koeffistenti  tg

       

 

( ) bo’lgan urinma 

o’tkazish mumkinligini isbot qildik. Aksincha, 

         

Limitning mavjudligidan chekli

  

 

( ) hosilaning mavjudligi va (3) , (4) tengliklarning 

o’rinli ekanligi kelib chiqadi. 

Ayrim hollarda teng bo’lmagan chap va o’ng hosilalar mavjud bo’lishi mumkin, bunda A 

nuqta G ning burchak nuqtasi, deyiladi. Bunday hollarda A nuqtadan G ga hech qanday 

urunma o’tmaydi, lekin burchak koeffistientlari mos ravishda 

   

 

     

    

    

  

  

   

 

  

( )     

 

     

    

    

  

  

   

 

 

( ) 

Bo’lgan chap va o’ng urunmalar mavjud deyish mumkin 

Agar funkstiyaning x nuqtadagi hosilasi cheksiz bo’lsa: 

 

 

( ) =    

   

  

  

    

U holda quyidagi to’rtta hol yuz beradi. 

1) 

 

 

( )=   

   

  

  

         

 

 

 

2) 

 

 

( )=   

   

  

  

         

 

 

 

---

 

 

3) 

 

 

  

( )=    

   

  

  

         

 

 

 

 

 

( )=    

   

  

  

         

 

 

 

               o’qiga perpendikulyar bo’lib pastga yo’nalgan va o’ng urinma esa, x 

o’qiga perpendikulyar bo’lib, yuqoriga yo’nalgan. 

 )  

 

  

( )  =     

   

  

  

   ,    

 

 

  , 

 

 

 

( ) =    

   

  

  

           

 

 

 

                                               bo   b, birinchisi tepaga, 

ikkinchisi pastga yo na gan. 

 

To’g’ri chiziqning analitik geometriyadan ma’lum bo’lgan burchak koeffistenti 

tenglamasiga ko’ra grafik G ga A (x

0,

y

0  

)nuqtadao’tkazilgan urinmaning tenglamasi 

y - y

0

 =

  

 

 

 

( 

 

)

 (     

 

)(5) 

bo’ladi.Shu nuqtada urinmaga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni G ga A (x

0,

y

0  

) 

nuqtada o’tkazilgan normal deb ataymiz. Uning teglamasi 

y- y

0

 =

  

 

 

 

( 

 

)

 (     

 

)(6) 

bo’ladi. 

Hosilaning mexanik ma’nosi. 

Asosiy tushinchalar. Biz bu bobdan boshlab  o’quvchi etiboriga  oliy matematikaning eng 

asosiy  tushinchalaridan biri  differenstial va  integral  xisobni xovola qilamiz. 

Differenstial va integral xisobning  boshlanғich tushinchalari XVII  asrdan vujudga keldi 

va XVIII asrga kelib ingliz olimi I.Nuyuton va fan olimi G.V.Lebnitslarning buyuk  

xizmatlari tufayli  mukammal  nazariya ko’rinishiga keldi. 

Avval keyingi  bo’limda  kiritiladigan  hosila tushinchasiga asos  solgan bir nechta  

amaliy  masalalarni  ko’raylik: 

1. 

Moddiy nuqtaning oniy tezligi. Moddiy nuqtaning erkin tushish masalalrini  ko’raylik. 

Agar t  tushish  boshidan boshlab  hisoblansa,  shu vaqt ichida  bosib o’tilgan yo’l 

     

  

 

 

 

---

 

 

formula bilan hisoblanadi, bu erda g = 9,81. Nuqta  harakatning tvaqtdagi 

  tezligini  topish 

talab  qilingan bo’lsin. 

t

  o’zgaruvchiga      ortirma beraylik  va t+      vaqtdan so’ng  material M                                  

nuqtaning M

1

holatini ko’raylik. Yo’lning 

    vaqt  oraliqida olgan M M

1

 ortirmasini     bilan 

belgilaylik. U holda t o’rniga t+    ni (1) 

s +   =

 

 

 (t+   )

 

bo’ladi. Bundan 

      

 

 

     (       )

 

 

Agar    ni    ga bo’lsak.  Moddiy nuqtaning MM

1

 yo’lni bosib o’tgan  o’rtacha tezligini 

topamiz. 

 

  

   

  

  

       

 

 

      

Nuqtaning 

  vaqtdagi    oniy tezligi  deb, 

  

 o’rta tezligining 

    nolga intilgandagi   limitiga 

aytamiz. 

         

    

(    

 

 

  )         

Umuman, nuqtaning tekis xarakat tezligi 

  xam xuddi shunday  hisoblanadi. Bunda agar  

xarakat  tenglamasi s= f(t) bo’lsa, nuqtaning t  vaqtdagi oniy tezligi 

       

    

 

  

= 

  

  

 bo’ladi. 

2. 

Tok kuchi .Q = f(t) simdan t vaqt ichida  o’tadigan elektr miqdorini  bildirsin. U holda 

   

  

   

 (      )    ( )

  

 

Tokning [

         ]vaqt oralig’ida  o’tgan tok  kuchini bildiradi. Shu sababli,  

   

    

  

  

    

Limit tokning 

  momentdagi  kuchini beradi. 

---

 

 

3. 

Massaning taqsimot  zichligi. Faraz qilaylik, x  o’rnini [

    ] kesmasida biror massa 

umuman notekis tarqalgan bo’lsin. U holda [

    ] kesmadagi massa miqdori  

M = F(x)  (a

       ), 

yangi 

 ning  funkstiyasi bo’ladi,  [         ]oraliqga  to’g’ri  keluvchi massa  miqdori  

      (      )    ( ) bo’ladi. 

U holda  shu oraliqdagi o’rtacha  massa zichligi

  

  

    

 Massaning  x  nuqtasidagi  zichligini beradi.