Bir jinisli differensial tenglamalar

O’zgarmas koffitsientli chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamada o’zgarmasni variatsiyalash? usuli (Lagranj usuli).


(1)
(1) tenglama o’zgarmas koffitsientli emas.
(1) Tenglamani bir jinsli qismining yechimi (2) bo’lsin larni x ning funktsiyasi deb karaymiz.
deb tenglamalar sistemasini tuzamiz.

Sistemasidan larni topib (2) tenglikka qo’ysak (1) tenglamaning umumiy yechimi ni topamiz. Bu usulni o’zgarmas koffitsientli differensial tenglamaga xam qo’llaymiz.

Endi uchun

bo’ladi.

Misol: 2)

?







CHIZIQLI O’ZGARMAS KOFFITSIENTLI TENGLAMALAR SISTEMASI. EYLER USULI.

Reja

1. 
   Chiziqli o’zgarmas koffitsientli sistema.
   
2. 
   Xarakteristik tenglamasi.
   
3. 
   Umumiy yechimi.
   

Oddiy differensial tenglamalar sistemasining o’zgarmas koffitsientli chizikli differensial tenglamalar sistemasini yechish.

Ushbu differensial tenglamalar sistemasini normal sistema deyiladi.Bu yerda lar erkli uzgaruvchi x ning noma’lum funksiyalari . Bu sistemani kanoatlantiruvchi funksiyalar sistemasi bu sistemaning yechimi deyiladi.

Umumiy yechim:

Funksiyalar sistemasidan iborat.

da
Boshlangich shartlarni qanoatlantiruvchi yechim Koshi masalasini yechimi buladi.Normal sistemasini yechish usullaridan biri noma’lumlarni yo’qotish usulidir.
Misol: sistemasining boshlangich shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.














umumiy yechim


dan









xususiy yechim.
Endi tenglamalardagi koffitsientlar o’zgarmas sonlar bo’lganda sistemani yechish usuli bilan tanishamiz.
(1)
ko’rinishdagi yoki yozishga qulay
a_ij=const,
ko’rinishdagi sistema o’zgarmas koffitsientli chiziqli sistema deyiladi.
Agar f(x)0 bo’lib,
(2)
ko’rinishida bo’lsa, bir jinsli sistema deyiladi.
O’zgarmas koffitsientli tenglamalarni xususiy yechimini topish usulini esga olib, (2) sistemaning yechimini
(3)
ko’rinishda izlaymiz, bunda _k va - lar o’zgarmas sonlar.
Bu yerda shunga e’tibor berish kerakki barcha y_k lar uchun bir xil.
(3)ni (2)ga qo’yamiz.
bo’lib
tenglikni olamiz ga qisqartirib,

tenglikni hosil qilamiz. So’nggi tenglik hadlarini bir tomonga o’tkazib, quyidagi ko’rinishda yozib olamiz.
(4)
bu yerda

(4) ifoda _k larga nisbatan sistema bo’lib, algebradan ma’lumki, sistema noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun, uning determinanti nolga teng bo’lishi lozim. Shuning uchun (4) sistemaning determinantini nolga tenglaymiz.
= 0 (5)
(5) ni yoyib chiqsak, ga nisbatan p – tartibli tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglama (1) sistemaning xarakteristik tenglamasi deyiladi. Uni ildizlari xarakteristik sonlar deyiladi.
determinant xarakteristik determinant deb ataladi.
p – tartibli xarakteristik tenglamani p ta ildizi bo’lib, ular ₁, ₂,…, _n sonlar bo’lsin.
1-hol: _i lar haqiqiy va xar xil. Unda barcha _i larni (4)ga qo’yamiz.
(6)
Bu sistemani i=1,2,.., n lar uchun alohida- alohida yechib, xar bir _i ga mos _i larni topamiz va (3)ga qo’yamiz. Natijada

xususiy yechimlar hosil bo’ladi. Ulardan esa

ko’rinishida umumiy yechimni hosil qilamiz.
Bu yechimlar chiziqli erkli bo’lib, fundamental yechimlar sistemasini hosil qiladi.
2-hol: _i - larni ichida komplekslari bo’lsa, u ҳolda

echimni olamiz, ҳamda

deb olib, haqiqiy va mavxum qismlarini ajratamiz.

Bu yechimllar chiziqli erkli bo’lib, a-ib ko’rinishdagi ildizlar yangi yechimlarni tashkil etmaydi.
3-hol: _i - ildizlar haqiqiy va ichida karralisi bor.Unda k - karrali xarakteristik son uchun k ta chiziqli erkli yechimlar mos keladi.
Shu o’rinda ushbu teorema o’rinli
TEOREMA: Agar , k - karrali ildiz bo’lsa, u ҳolda unga
(7)
ko’rinishdagi yechimlar mos keladi, bunda ‘₁(x),…,’_m(x) lar k- 1 – tartibli ko’phadlar.
Yechimni topishda (7)ni (2)ga qo’yib ‘_i(x) ko’phadni mos darajalari oldidagi koffitsientlar tenglanib topiladi.
4-hol: Agar _i ildizlar ichida kompleks va k – karralisi bo’lsa, u ҳolda yechim

ko’rinishida izlanadi, bunda ‘_k-1(x), R_k-1(x) lar k–1 – tartibli ko’phadlar.
Sistemalarni bu usulda yechish Eyler usuli deyiladi.