Bir jinisli differensial tenglamalar

Operatsion hisob.
Reja:
1. Laplas tasviri va uning ba’zi xossalari.
2. Ba’zi sodda funksiyalarning tasvirlari.
3. Laplas tasvirining ba’zi xossalari.
4. Original - tasvir jadvali.
1. Laplas tasviri va uning ba’zi xossalari.
Faraz qilaylik haqiqiy o’zgaruvchili f (t) funksiyaga chiziqli integral almashtirish vositasida biror kompleks o’zgaruvchili funksiya F(t) mos keltirilgan bo’lsin. Bu holda f(t) funksiyani F(t) funksiyaning originali yoki asl obrazi deyiladi. F(t) funksiyani esa f (t) ning tasviri , obrazi yoki kopiyasi deyiladi.
Ta’rif: Original deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi haqiqiy o’zgaruvchili t ning f (t) kompleks funksiyaga aytiladi.
1. Haqiqiy o’zgaruvchili t ning (t>0) funksiyasi bo’lgan f (t) uzluksiz va istalgan tartibli uzluksiz hosilalarga ega yoki uzilishga ega bo’lsa, uzilish nuqtalari chekli yoki uzilish
nuqtalari bo’lgan oraliqlari ham chekli bo’lishi kerak.
2. t<0 bo’lsa, f(t)º0 bo’ladi.
3. f (t) funksiyaning o’sishi, ko’rsatkichli funksiyaning o’sishidan tez bo’lmaydi, chunki t ga bog’liq bo’lmagan shunday musbat M >0, S_o >0 sonlar mavjudki, " katta t uchun çf(t)ê< bo’ladi.
Bu yerda S_o originalning o’sishi tartibini ko’rsatuvchi son. Agar S_o =0 bo’lsa, original o’zgarmas bo’ladi.
Original f(t) funksiya yuqoridagi 3 ta shartni qanoatlantirganda, kompleks o’zgaruvchi t=s+is ning funksiyasi bo’lgan dt itegralga original f(t) funksiyaning tasviri yoki Laplas almashtirishi yoki Laplas funksiyasi deyiladi va F(t) bilan belgilanadi
F(t)= dt (1)
Original tasvir ko’pincha quyidagicha belgilanadi: F(t) -¸® f(t) yoki f(t) ¬¸- F(t).
2. Ba’zi sodda funksiyalarning tasvirlari.

1. 
   Quyidagicha aniqlangan s₀(t)
   

s₀(t) =
funksiyaga birlik funksiya yoki Xevisayda funksiyasi deyiladi.
Bu funksiyaning grafigi quyidagicha

s₀(t)

1
0 t

Xevisayda funksiyasining tasviri (1) ga ko’ra quyidagicha aniqlanadi:

F(t)= e^-ptf(t)dt = e^-pts₀(t)dt= e^-pt×1×dt=-e^-pt =-0+ = .
Shunday qilib s₀(t) ¬¸- 1/p yoki 1 ¬¸- 1/p (2)
2. f(t)=sint funksiya tasviri ham (1) ga ko’ra aniqlanadi:
Shunday qilib sint ¬¸- (3)
3. f(t)=cost funksiya tasvirini topamiz:

Demak cost funksiyani tasviri yoki cost ¬¸- (4)