Bir jinisli differensial tenglamalar

2-MAVZU.
-TARTIBLI CHIZIQLI TENGLAMALAR.
O’zgarmas koffitsientli bir jinsli tenglamalar.

Ushbu

(1)
tenglamani yechish uchun almashtirish yordamida
(2)
xarakteristik tenglama hosil qilinadi va uni yechib ildizlari topiladi.
Tenglamaning umumiy yechimini yozish uchun quyidagi xollarni qaraymiz:

1. 
   -haqiqiy va har xil. U holda (1) tenglamani
   

umumiy yechimi
(3)
ko’rinishda yoziladi.

2. 
   ildizlar haqiqiy va ichida karralisi bor bo’lsin. Faraz
   

qilaylik ildiz karrali bo’lib, qolgan ta ildiz har xil bo’lsin. Bu xolda (1) tenglamaning umumiy yechimi
(4)
ko’rinishda ifodalanadi.

3. 
   ildizlar ichida kompleks yechimlar ham bor bo’lsin.
   

Aniqlik uchun bo’lib qolganlari haqiqiy sonlar deb olaylik. U holda umumiy yechim
(5)
ko’rinishda bo’ladi.
Bu yerda ko’rinishdagi formuladan foydalaniladi.

4. 
   kompleks ildizlar ichida karralisi ham bo’lsin.
   

Masalan, karrali , u holda ildiz ham karrali bo’ladi, unga mos umumiy yechim
(6)
ko’rinishda ifodalanadi.
Misol 1. Tenglamaning xarakteristik tenglamasini tuzing.
.
Yechish. Berilgan tenglamada

almashtirish bajaramiz. Buning uchun hosila olib, tenglamaga qo’ysak,
yoki ,
bundan xarakteristik tenglamani hosil qilamiz. Demak, ning darajasi tenglamadagi hosila tartibi bilan bir xil ekan.
Misol 2. Tenglamani umumiy yechimini toping.

Yechish. Tenglamada almashtirish bajaramiz. Undan tenglamada qatnashgan hosilalarni hisoblaymiz
.
Topilgan hosilalarni tenglamaga qo’yib, ga bo’lish natijasida (2) ko’rinishdagi xarakteristik tenglamani hosil qilamiz:
.
Bu tenglamani ko’rinishda yozib, ildizlarga ega bo’lamiz. Barcha ildizlar haqiqiy va har xil. Shuning uchun (3) ko’rinishdan foydalanib, umumiy yechimini yozish mumkin, ya’ni
.