Bir jinisli differensial tenglamalar

Eyler formulasini tadbiq etsak,

tengliklar hosil bo’ladi. Ma’lumki, bu funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi ham bir jinsli tenglamaning yechimlari bo’ladi. Shuning uchun

funksiyalar ham (3) tenglamaning yechimlari bo’ladi. Bu yechimlar chiziqli bog’lanmagan, chunki ulardan tuzilgan Vronskiy determinanti no’ldan farqli (tekshirib ko’ring).
Demak,
(8)
(3) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
4-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglamaga mos xarakteristik tenglamaning ildizlari:

bo’ladi. Bu ildizlar kompleks qo’shma bo’lib uchinchi holga mos keladi. ekanligini hisobga olib (8) formulaga asosan umumiy yechim,

bo’ladi.
Endi ikkinchi tartibli o’zgarmas koffitsientli bir jinsli tenglama uchun berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topishni, ya’ni Koshi masalasini qaraymiz.
5-misol. differensial tenglamaning bo’lganda bo’ladigan xususiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglama ikkinchi tartibli o’zgarmas koffitsientli, bir jinsli, chiziqli tenglamadir. Unga mos xarakteristik tenglama

bo’lib, uning ildizlari bo’ladi. Demak, tenglamaning umumiy yechimi

bo’ladi. Oxirgi tenglikdan hosila olsak,

bo’lib , bo’lganda boshlang’ich shartlarga asosan,

tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Oxirgi tenglamalar sistemasidan larni aniqlaymiz. Shunday qilib, izlanayotgan xususiy yechim

bo’ladi.


Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
1. tenglamaning bo’lganda bo’ladigan xususiy yechimini toping.
2. Quyidagi tenglamalarning umumiy yechimlarini toping.

3. Quyidagi differensial tenglamalarning umumiy yechimini toping:

4. tenglamaning bo’lganda, bo’ladigan boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni toping.