Bernulli formulasi va Muavr-Laplas, Puasson teoremalari

Teorema 1.1. Ushbu , ehtimollik uchun ushbu

formula о‘rinli.
Isbot. ehtimollikning ta’rifiga kо‘ra, deyarli ravshanki,
. (1.6)
Nyuton binomi formulasiga kо‘ra
(1.7)
Ikkinchi tomondan (1.5) tenglikni ushbu
(1.8)
shaklda yozib olish mumkin. Yuqorida hosil qilingan (1.7) tenglikni ga kо‘paytirib, (1.8) tenglikka hadlab qо‘shsak,
.
Oxirgi tenglikda (1.6) formulani hisobga olsak, ushbu

formulani hosil qilamiz.
Teorema isbot bо‘ldi.
Biz о‘rganayotgan ushbu formula Bernulli formulasi deb nomlanadi. Bu formulani har bir tajribada ehtimolligi о‘zgarmas bо‘lgan biror hodisaning ta bog‘liqsiz tajribalardan roppa-rosa tasida rо‘y berish ehtimolligi sifatida talqin qilish mumkin. Bernulli formulasining sodda kо‘rinishiga qaramasdan yetarlicha katta larda undan foydalanish birmuncha noqulayliklarni vujudga keltiradi. Bunday holga, ayniqsa, tayinlangan yetarlicha katta va larda hisoblash jarayonida emas, balki aniq ekstremal masalalarda duch kelamiz. Shu munosabat bilan muayyan shartlar bajarilganda ni hisoblashda taqribiy hisoblash usullari keng qо‘llaniladi. Shu munosabat bilan keyingi paragrafda isbotlanadigan teoremada tajribalar soni yetarlicha katta bо‘lganda har bir tajribada rо‘y berish ehtimolligi juda kichik bо‘lgan hodisalarning ehtimolligini hisoblash formulasi keltiriladi.
Ehtimollikning asimptotasi. Dastlab bitta lemma isbotlaymiz.
Lemma 1.1. Agar , , bо‘lsa, ushbu
(1.9)
tengsizlik о‘rinli.
Isbot. Matematik induksiya usulidan foydalanamiz. uchun (1.9) ning tо‘g‘riligi ravshan. Faraz qilaylik, (1.9) tengsizlik biror uchun tо‘g‘ri. Bu tengsizlikni uchun tо‘g‘ri ekanligini isbotlaymiz. Farazimizdan foydalanib, quyidagilarga ega bо‘lamiz:

Oxirgi tengsizlikni hosil qilishda biz shartdan foydalandik.
Lemma isbot bо‘ldi.
Quyidagi teoremani isbotlashda yuqoridagi lemmadan foydalanamiz.
Teorema 1.2. Bog‘liqsiz tajribalar seriyasida muvaffaqiyat ehtimolligi bо‘lsin. Agar da va , , bо‘lsa, u holda barcha sonlar uchun
. (1.10)
Isbot. Dastlab koeffitsiyentni tahlil qilaylik. Ta’rifga kо‘ra

va faqat bо‘lgan holni qarash bilan kifoyalanish mumkin. Ikkinchi tomondan

Bu yerdan esa
. (1.11)
Agar ni tayinlasak, (1.11) tenglikdan

ekanligini hosil qilamiz. YA’ni,
.
Oxirgi munosabat shuni bildiradiki, yetarlicha katta bо‘lganda son о‘rniga sonni qarash mumkin. Quyida bunday approksimatsiyaning xatoligini baholaymiz.
(1.11) tenglikning о‘ng tomonidagi kо‘paytmaga (1.9) tengsizlikni qо‘llab, quyidagini topamiz:

Ikkinchi tomondan ravshanki, (1.11) tenglikning о‘ng tomonidagi kо‘paytuvchilarning har biri birdan kichik miqdorlar. Demak,
.
Oxirgi tengsizlikni miqdorga kо‘paytirib, ushbu
(1.12)
tengsizliklarga ega bо‘lamiz. Deyarli ravshanki, har bir tayinlangan uchun:
; (1.13)
teorema shartlariga kо‘ra
; (1.14)
. (1.15)
Nihoyat,
(1.16)
Hosil qilingan (1.13) – (1.16) munosabatlardan foydalanib, (1.12) tengsizliklardan topamizki,
.
Teorema isbot bо‘ldi.
Teorema 1.2. da hosil qilingan asimptotik miqdor

ehtimollik taqsimoti tashkil etadi. Haqiqatan ham
.
Agar diskret tasodifiy miqdor uchun

bо‘lsa, u Puasson taqsimoti bilan taqsimlanagn tasodifiy miqdor deyiladi. Shunday qilib, Bernulli sxemasida muvaffaqiyatlar soni asimptotik Puasson taqsimoti bilan taqsimlangan miqdorga yaqinlashar ekan. Shuning uchun ibotlanagn Teorema 1.2 ehtimolliklar nazariyasida Puasson teoremasi deb nomlanadi.