Bernulli formulasi va Muavr-Laplas, Puasson teoremalari

Teorema 2.4. Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan bо‘lib, ular chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega bо‘lsin. Ushbu

tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi da taqsimot bо‘yicha nolga yaqinlashadi, ya’ni
.
Darhaqiqat, Ushbu holda ham Teorema 2.3. ning barcha shartlari bajariladi va
.
Shuning uchun
.
Oxirgi munosabat teorema tasdig‘iga teng kuchli.
Teorema isbot bо‘ldi.
Teorema 2.5 (Bernullining katta sonlar qonuni). Muvaffaqiyat ehtimolligi bо‘lgan Bernulli tajribalari seriyasida tasodifiy miqdor mqvaffaqiyatlar sonini ifodalasin. U holda tajribalar sonining cheksiz oshishi bilan muvaffaqiyatlar nisbiy chastotasi taqsimot bо‘yicha ehtimollikka yaqinlashadi, ya’ni
.
Isbot. Ushbu tasodifiy miqdor tajribada muvaffaqiyatga erishilsa, bir qiymatni, aks holda nol qiymatni qabul qilsin. U holda deyarli ravshanki,
, ,
va
.
Bu yig‘indidagi miqdorlar о‘zaro bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan bо‘lib, chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega. U holda

miqdor uchun
.
Shunday qilib, Teorema 2.4 ning barcha shartlari bajariladi. Va bu teoremaning tasdig‘iga kо‘ra
.
Teorema isbot bо‘ldi.
Shunday qilib, yuqorida isbotlangan Bernullining katta sonlar qonuni (Teorema 2.5) Teorema 2.4 ning va demak, Chebishev katta sonlar qonunining (Teorema 2.3) xususiy holi ekan.
Quyida biz Xinchinning katta sonlar qonunini isbotsiz keltiramiz.