Bernulli formulasi va Muavr-Laplas, Puasson teoremalari

Tasodifiy miqdor funksiyasining taqsimot qonuni. Diskret hol. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan:

- haqiqiy argumentning monoton funksiyasi bо‘lsin. U holda tasodifiy miqdorning funksiyasi bо‘lgan diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni:

Uzluksiz hol. – taqsimot funksiyasi va zichlik funksiyasi bilan berilgan uzluksiz tasodifiy miqdor bо‘lsin. - monoton о‘suvchi funksiya, - unga teskari funksiya bо‘lsin. U holda uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagicha topiladi:

Oxirgi tenglikni bо‘yicha differensiallab, quiydagini hosil qilamiz:
,
bu tenglikdan uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi uchun formula kelib chiqadi:

- monoton kamayuvchi funksiya, - unga teskari funksiya bо‘lsin. U holda yuqoridagi mulohazalardan sо‘ng quyidagi formulani hosil qilamiz:
; .
Shunday qilib, agar uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi bilan berilgan bо‘lib, differensiallanuvchi, monoton о‘suvchi yoki monoton kamayuvchi funksiya va unga teskari funksiya bо‘lsa, u holda tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi quyidagi tenglikdan aniqlanadi:

Amaliyotda asosan - monoton funksiya bо‘lgan holda qо‘llaniladi.
Agar - funksiya aniqlanish sohasida monoton bо‘lmasa, u holda bu sohani funksiya monotonik oraliqlariga bо‘linib, har bir monotonik oralig‘i uchun zichlik funksiyasini aniqlash va yig‘indi shaklida tasvirlash kerak bо‘ladi.