Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

1-teorema. Mayli - yopiq qavariq to’plamida berilgan funksiyasi bo’lsin. Unda to’plamidagi funksiyasining istalgan lokal minimumi global bo’lib hisoblanadi.

Isbotlash. nuqtasida funksiyasi lokal minimum qiymatiga ega bo’ladi deb, shuning bilan birga nuqtasida bu funksiya global qiymatiga yetishadi, bunda deb faraz qilamiz. funksiyasi qavariq funksiya bo’lgani sababli, unda istalgan ushbu quyidagi munosabati to’g’ri bo’ladi:

(1.12)

to’plami qavariq, shuning uchun bo’lganda nuqtasi shu to’plamiga tegishli bo’ladi. (1.12) tengsizligini yanada kuchaytirishga bo’ladi, agarda o’rniga olib borib qo’ysak. Quyidagiga ega bo’lamiz:

.

nuqtasi nuqtasiga juda yaqin bo’lib joylashadigandek qilib ning qiymatini saylab olishga bo’ladi. Unda ega bo’lgan tengsizligi lokal minimum nuqtasi bo’ladiganligiga qarshi keladi, sababi bu holda ga yaqin nuqtasidagi funksiyaning qiymati, nuqtasidagi qiymatidan kichik bo’lishi kerak. Teorema isbotlandi.

1-xulosa. Agarda global minimum qiymatiga ikki har xil nuqtalarida yetishadigan bo’lsa, unda bu nuqtalarni tutashtiruvchi kesmaning istalgan nuqtasida bu funksiya global minimum qiymatiga yetishadi.

2-xulosa. Agarda - qa’tiy qavariq funksiyasi bo’lsa, unda qavariq to’plamining yagona bir nuqtasida bu funksiya global minimum qiymatiga yetishadi.

2-teorema. Mayli qavariq to’plamida berilgan - qa’tiy qavariq funksiyasi bo’lsin va to’plamining barcha ichki nuqtalarida bu funksiya o’zining yakka xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsin. Mayli nuqtasi- bo’ladigan nuqtasi bo’lsin. Unda nuqtasida global minimum qiymati bilan tengdek bo’ladigan lokal minimum qiymatiga yetishadi.

Isbotlash.Mayli nuqtasi to’plamining ixtiyoriy olingan nuqtasi bo’lsin. (1.11)dan bo’ladi deb, deb, bundan ega bo’lamiz. Bundan teoremaning isbotlanishi kelib chiqadi. Demak, qavariq funksiyasi , to’plamining bo’lgan har bir nuqtasida o’zining global minimum qiymatiga yetishadi.