Баъзи иррационал функцияларни интеграллаш 10. кўринишидаги интегралларни ҳисоб-лаш

Баъзи иррационал функцияларни интеграллаш


1⁰. кўринишидаги интегралларни ҳисоб-лаш. Фараз қилайлик, икки ўзгарувчининг рационал функцияси бўлиб, лар ҳақиқий сонлар, бўлсин.
Ушбу

кўринишидаги интегралларни қараймиз. Бу интеграл ўзгарув-чини алмаштириш ёрдамида рационал функциянинг интег-ралига келади:

.
1-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄Бу интегралда

алмаштиришни бажарамиз. Унда

бўлиб,

бўлади.
Равшанки,
.
Демак,
►
2⁰. кўринишидаги интегралларни ҳисоблаш. Бу интегралда -ҳақиқий сонлар бўлиб, квадрат учҳад тенг илдизларга эга эмас.
Қаралаётган
(1)
интеграл қуйидаги учта алмаштириш ёрдамида рационал функция интегралига келади.
а) бўлсин.
(1) интегралда ушбу
(ёки )
алмаштиришни бажарамиз. У ҳолда
,
,

бўлади.
Натижада


бўлади.
2-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Бу интегралда

алмаштиришни бажарамиз. Натижада

бўлиб,

бўлади.
Агар

бўлишини эътиборга олсак, унда


бўлиши келиб чиқади. ►
б) бўлсин. Бу ҳолда (1) интегралда ушбу

ёки

алмаштиришини бажарамиз. Унда


бўлиб, (1) интеграл рационал функциянинг интегралига келади:

в) квадрат учҳад турли ва ҳақиқий илдизга эга бўлсин:
.
Бу ҳолда (1) интегралда ушбу

алмаштиришни бажарамиз. Натижада


бўлиб,


бўлади.
3-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Равшанки,
.
Шуни эътиборга олиб берилган интегралда

алмаштиришни бажарамиз. У ҳолда

бўлиб,

бўлади.
Энди

бўлишини эътиборга олиб топамиз:
. ►
3⁰. Биномиал дифференциални интеграллаш. Ушбу

ифода биномиал дифференциал дейилади, бунда -рационал сонлар.
Биномиал дифференциалнинг интеграли
(2)
ни қараймиз. Бу интеграл қуйидаги ҳолларда рационал функциянинг интегралига келади:
1) -бутун сон. Бу ҳолда ва рационал сонлар махражларининг энг кичик умумий карралисини орқали белгилаб, (2) интегралда

алмаштириш бажарилса, (2) интеграл рационал функция-нинг интегралига келади.
4-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Бу интегрални қуйидагича

ёзиб, бунда бўлишини аниқлаймиз.
Интегралда

алмаштириш бажариб

бўлишини топамиз.
Равшанки,
.
Демак,

бўлиб,

бўлади. ►

2. 
   - бутун сон. Бу ҳолда (2) интегралда
   

алмаштиришни бажариб

бўлишини топамиз, бунда
.
Сўнг нинг махражини деб

алмаштиришни бажарамиз. Натижада (2) интеграл рационал функциянинг интегралига келади.
5-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Бу интегралда


бўлиб,

бўлади.
Шуни эътиборга олиб, берилган интегралда,

алмаштиришни бажарамиз. Унда

бўлиб,

бўлади. ►
3) - бутун сон. Маълумки, (2) интеграл алмаш-тириш билан ушбу

кўринишга келади.
Агар кейинги интегралда

алмаштириш бажарилса ( сони нинг махражи), у рационал функциянинг интегралига келади.
6-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Равшанки,
.
Демак,

бўлиб, -бутун сон бўлади.
Берилган интегралда

алмаштириш бажариб,


бўлишини топамиз. ►


Машқлар

1. 
   Ушбу
   

интеграл ҳисоблансин.

2. 
   Ушбу
   

интеграл ҳисоблансин.