Аниқмас интегралда ўзгарувчини алмаштириш ва бўлаклаб интеграллаш. Режа

Аниқмас интегралда ўзгарувчини алмаштириш ва бўлаклаб интеграллаш.


Режа:

1. 
   Ўзгарувчини алмаштириш.
   
2. 
   Бўлаклаб интеграллаш.
   
3. 
   Мустақил бажариш учун топшириқлар.
   

Ўзгарувчини алмаштириш
Кўп ҳолларда янги ўзгарувчи киритиш билан интегрални ҳисоблаш, жадвал интегралига келтирилади. Бунда алмаштириш олиниб, бунда янги ўзгарувчи бўлиб, ўзгарувчини алмаштириш формуласи
кўринишда бўлади.
Ўзгарувчини алмаштириш усулига бир неча мисоллар қараймиз.


1-мисол. интегрални ҳисобланг.
Ечиш. деб ёки эканлигини ҳисобласак, бўлади.


2-мисол. интегрални ҳисобланг.
Ечиш. ўзгарувчи билан алмаштирамиз. Бу ҳолда ёки бўлиб,
бўлади.
3-мисол. интегрални ҳисобланг.
Ечиш. Бунда ўзгартириш олиб,
натижага эга бўламиз. Бундай интеграллашга бевосита интеграллаш деб аталади. Чунки билан ўзгарувчини алмаштириб ҳам шу натижага келиш мумкин эди. Юқоридаги интегралда ўзгарувчини алмаштириб ўтирмасдан уни фикрда бажардик.
4-мисол. интегрални ҳисобланг.
Ечиш. билан янги ўзгарувчини алмаштириб, эканлигини ҳисобга олсак, бўлади.
5-мисол. интегрални ҳисобланг.
Ечиш. билан янги ўзгарувчи киритамиз. Охирги тенгликдан дифференциал топиб, бўлганлиги учун, бўлади.
6-мисол. интегрални ҳисобланг.
Ечиш. ни ҳисобга олиб натижага келамиз.
Шундай қилиб, оддий ҳолларда

тенгликлардан фойдаланиб, ўзгарувчини алмаштиришни фикрда бажариб, бевосита интеграллаш ҳам мумкин.
Бўлаклаб интеграллаш
Бўлаклаб интеграллаш усули дифференциал ҳисобнинг иккита функция кўпайтмаси дифференциали формуласига асосланган.
Маълумки, бундан Охирги тенгликни интеграллаб,
натижага эга бўламиз. Шундай қилиб, (1) формулани ҳосил қилдик. (1) формулага бўлаклаб интеграллаш формуласи дейилади.
Бу формула ёрдамида берилган интегралдан иккинчи интегралга ўтилади. Демак, бўлаклаб интеграллашни қўллаш натижасида ҳосил бўлган иккинчи интеграл, берилган интегралга нисбатан соддароқ ёки жадвал интеграли бўлгандагина бу усулни қўллаш мақсадга мувофиқдир. Бу мақсадга интеграл остидаги ифодани ва кўпайтувчиларга қулай бўлаклаб олиш натижасида эришиш мукмин. Берилган интеграл остидаги ифоданинг бир қисмини ва қолган қисмини деб олгандан кейин (1) формуладан фойдаланиш учун ва ларни аниқлаш керак бўлади. ни топиш учун нинг дифференциали топилиб, ни топиш учун эса ифодани интегралаймиз, бунда интеграл ихтиёрий ўзгармас C га боғлиқ бўлиб, унинг исталган бир қийматини хусусий ҳолда ни олиш мумкин.
Шундай қилиб, интеграл остидаги ифоданинг бир қисмини деб олишда у дифференциаллаш билан соддалашадиган, қолган қисми бўлиб, қийинчиликсиз интегралланадиган бўлиши керак.