Балашовский филиал

2. Некоторые особенности транспортной задачи

Приведенная выше формулировка транспортной задачи не единственная с точки зрения применения транспортной задачи для решения экономических задач. Поясним это на двух примерах.
Пример 1. Привести варианты конкретных экономических ситуаций, каждая из которых может быть описана с помощью одной из следующих математических моделей
L(X) = 4x₁₁ + 8x₁₂ + 9x₁₃ + 7x₂₁ + 3x₂₂ + 5x₂₃  min (max)
при ограничениях:
x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ = 110,
x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ = 100,
x₁₁ + x₂₁ = 60,
x₁₂ + x₂₂ = 80,
x₁₃ + x₂₃ = 70,
x₁₁ 0, x₁₂ 0, x₁₃ 0, x₂₁ 0, x₂₂ 0, x₂₃ 0.
Решение. 1) Сначала рассмотрим случай, когда в качестве критерия экономической эффективности выступает минимум указанной величины:
L(X) = 4x₁₁ + 8x₁₂ + 9x₁₃ + 7x₂₁ + 3x₂₂ + 5x₂₃  min.
Приведем один из возможных вариантов экономических ситуаций, которые могут быть описаны с помощью предлагаемой математической модели. Заметим, что данная модель представляет собою модель транспортной задачи, рассмотренной в § 1, п. 1.
Вариант 1 примера 1. Фирма имеет два склада и трех оптовых покупателей. Конкретные данные о загруженности каждого из складов (в тоннах), потребности каждого покупателя (в тоннах) и стоимости перевозки (усл. ед. за 1 т) приведены в таблице 1.
Таблица 1

		Стоимость перевозок к покупателям			Наличие груза
		B1	B2	B3
Склады	A1	4	8	9	110
	A2	7	3	5	100
Потребности		60	80	70

Составить оптимальный план перевозок, имеющий минимальные транспортные расходы.

Неформальные пояснения к решению варианта 1. Экономической интерпретацией переменной x_ij является количество товара, поставляемого со склада A_i покупателю B_j, а величина L(X) = 4x₁₁ + 8x₁₂ + 9x₁₃ + 7x₂₁ + 3x₂₂ +
+ 5x₂₃ трактуется как общая стоимость всех перевозок. Общий объем запасов на складах совпадает с общим объемом запросов покупателей:
= 110 + 100 = 210 (т), = 60 + 80 + 70 = 210 (т).
С

Рис. 1. Схематическое изображение транспортной задачи

ледовательно, данная задача является закрытой транспортной задачей, экономическая интерпретация которой подробно рассмотрена в п. 1. Поэтому ограничимся лишь схематическим изображением сформулированной задачи (рис. 1), которое облегчает понимание и будет полезно при решении аналогичных ЗЛП.
Решение задачи, соответствующее для варианта 1 оптимальному плану перевозок, удобно будет записать в виде матрицы _опт.= (x_ij), экономическая интерпретация которой, благодаря изображенной схеме, весьма прозрачна.
2) Теперь рассмотрим случай, когда в качестве критерия экономической эффективности выступает максимум указанной величины: