Балашовский филиал

Предисловие

Учебное пособие содержит необходимый теоретический материал, примеры, задачи и упражнения по таким разделам линейной алгебры, как линейное программирование, симплексный метод и линейные модели, которые прекрасно иллюстрируют возможность применения математики в экономических исследованиях. За основу взята программа курса, который читается авторами на протяжении многих лет студентам математических и экономических специальностей БИСГУ и соответствует Государственному образовательному стандарту 2005 г., а также программа спецкурса на физико-математическом факультете. Эффективная обработка математических моделей реальных ситуаций невозможна без точного предписания, определяющего вычислительный процесс, ведущий от варьируемых начальных данных к искомому результату. Применение вычислительной техники позволяет сделать такую обработку не только точной, но и быстрой, поэтому авторы сочли необходимым сопроводить пособие алгоритмами и программами представленных в нем методов, а также показать возможность использования табличного процессора Excel. Представленным в пособии разделам предшествует изучение в курсе алгебры векторов, матриц, определителей и линейных систем. Предполагается, что читатель уже владеет понятиями, умениями и навыками, приобретенными в процессе обучения по указанным темам. Понятия, выходящие за рамки линейной алгебры, снабжены в пособии определениями, а некоторые проиллюстрированы примерами.
Один из наиболее важных инструментов оптимизации — линейное программирование — определяется так: имеется линейная функция, которую следует максимизировать (минимизировать) с учетом выбора линейных ограничений. В § 1 приведены типы реальных экономических задач, которые могут быть сформулированы как задачи линейного программирования ЗЛП; показана природа возникновения ограничений
и выражения для целевой функции. Затем дается общая формулировка задачи, и обсуждаются пути возможного ее решения, рассматриваются теоремы, лежащие в основе приведенных в пособии алгоритмов.
В § 2 предложен к рассмотрению графический метод линейной оптимизации: представлен алгоритм решения ЗЛП с двумя переменными, рассмотрены многочисленные и разнообразные примеры его применения,
в том числе и для задач регионального уровня, материал для которых был получен на действующих предприятиях г. Балашова. Здесь же алгоритм обобщается на случай трех переменных, а также проводится экономический анализ одной из задач и дается интерпретация полученных результатов. В § 3 подробно рассмотрен универсальный способ решения ЗЛП — симплексный метод (ручной и машинный варианты), а также весь необходимый для его реализации аппарат.
Современные вычислительные среды (MathCAD, MATLAB, Excel) имеют встроенные инструменты решения оптимизационных задач, в том числе и задачи линейного программирования. Но табличный процессор Excel изучается как в школьном, так и в вузовском курсе информатики практически всех специальностей. Поэтому в § 4 для автоматизации вычислений в задаче линейного программирования авторы использовали именно это хорошо знакомое студентам приложение. Расширением математического программирования с единственной целевой функцией на случай нескольких целевых функций является многокритериальная оптимизация. В § 5 рассматривается указанная оптимизация при условии линейности целевых функций и системы ограничений. Особенностью пособия является то, что учебный модуль «Введение в линейное программирование» рассмотрен авторами в контексте модульно-рейтинговой системы обучения, приведены подробная методика расчета баллов, указано распределение нагрузки при освоении модуля, сформулированы требования к оформлению самостоятельной работы.
Материалом повышенной сложности авторы считают п. 4 § 2 (решение ЗЛП с тремя переменными), изложение которого на лекции или отработка на практическом занятии требуют много времени. Имея изображение на страницах пособия или подготовленную презентацию, можно
обсудить со студентами решения предложенных трехмерных задач. Освоение теории машинной реализации симплекс-метода (п. 4 § 3) также потребует от студентов значительных усилий.
Упражнения позволяют закрепить и сравнить рассмотренные алгоритмы, приобрести необходимые вычислительные навыки, а также составить и обработать реальные экономико-математические модели линейного программирования. Очень трудно давать рекомендации по построению таких моделей или пытаться систематизировать процесс моделирования. Тем не менее, чтобы этому научиться, необходим практический опыт,
а его можно приобрести только в процессе самостоятельной работы. Наиболее ценным в пособии авторы считают небольшие по объему, но конкретные по содержанию модели региональной экономики. Данные для них были собраны в процессе проведения учебно-исследовательской работы со студентами экономического и физико-математического факультетов.
Естественным представляется путь последовательного приближения студента к главной цели — умению решать задачи, которые обязательно должны входить в предметную область будущего профессионала и имеют место в определенной экономической, коммерческой или управленческой ситуации. Стоит, однако, отметить, что привлечение студентов первого курса к решению прикладных задач таит в себе следующую опасность. Иногда ими рассматриваются настолько упрощенные реальные ситуации, что при их решении не формируется умение решать профессиональные задачи. Поэтому авторы посчитали целесообразным предоставить студентам возможность применять на практике приобретаемые знания и навыки по мере их освоения, поступательно изучать технологии в контексте предстоящей профессиональной деятельности. Этим и объясняется подборка задач.
Список литературы, состоящий из двух частей — рекомендуемой
и дополнительной, — может быть использован при написании курсовых
и дипломных работ.
Подготовка пособия была распределена следующим образом: § 1, 2, 5 написаны Г. И. Горемыкиной, § 3 и 4 — М. А. Ляшко, § 6 — совместно. Работа по улучшению пособия будет продолжена. Авторы заранее благодарят всех, кто выскажет свои замечания и пожелания, касающиеся улучшения стиля изложения, а также устранения возможных неточностей и опечаток.

§ 1. Задача линейного программирования
в общей постановке

Для оптимизации производства традиционно используются методы линейного программирования. Критериями эффективности могут быть, как-то: оптимальное использование производственного оборудования, рентабельность изделий, совокупный маржинальный доход, оптимальное распределение выделенных средств в инвестиционные проекты, минимальный объем ресурсов и т. д.
Методы линейного программирования находят свое применение даже при решении задач, относящихся к задачам нелинейного программирования. В качестве примера можно указать задачи дробно-линейного программирования, интерпретируемые в экономике как задачи определения рентабельности затрат на производство изделий, рентабельности продаж, нахождения себестоимости изделий и т. п. Путем введения новых переменных их можно свести к задачам линейного программирования.