Балашовский филиал

L(X) = 4x₁₁ + 8x₁₂ + 9x₁₃ + 7x₂₁ + 3x₂₂ + 5x₂₃  max.
Вариант 2 примера 1. Мастерская имеет два станка, каждый из которых может выполнять три операции по обработке деталей (порядок выполнения операций не важен). Продолжительность выполнения первой операции составляет 60 часов, второй — 80, третьей — 70. Время работы первого и второго станков равно соответственно 110 и 100 часам. Производительность за час (в количестве деталей) первого станка при выполнении первой операции равна 4, при выполнении второй — 8, третьей — 9. Аналогичная производительность второго станка равна соответственно
7, 3 и 5. Составить план временнóй загрузки станков по выполнению каждой операции, при котором можно было бы обработать наибольшее количество деталей.
Сформулированная задача носит название задачи об использовании производственного оборудования (мощностей).
Неформальные пояснения к решению варианта 2. Обозначив через A₁ и A₂ первый и второй станки, а через B₁, B₂ и B₃ первую, вторую и третью операции соответственно, условия данной задачи удобно записать в виде таблицы 2 (сравните с соответствующей таблицей варианта 1).
Таблица 2

		Производительность станков при выполнении операций			Время работы станков
		B1	B2	B3
Станки	A1	4	8	9	110
	A2	7	3	5	100
Продолжительность выполнения операции		60	80	70

Покажем, что математическая модель рассматриваемой экономической ситуации совпадает с описываемой моделью при условии максимизации целевой функции и, конечно, при условии соответствующей экономической интерпретации переменных и констант, входящих в указанную модель.

Обозначим через x_ij количество часов, которое требуется при выполнении на i-м станке j-й операции. При этом, конечно, x_ij 0 (i = 1, 2, j = 1, 2, 3). Тогда x_i1 + x_i2 + x_i3 — общее количество часов, которое требуется при
выполнении на i-том станке каждой из трех операций, а x_1j +x_2j — суммарная продолжительность выполнения j-й операции на каждом из двух станков. Это приводит к системе линейных равенств
x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ = 110,
x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ = 100,
x₁₁ + x₂₁ = 60,
x₁₂ + x₂₂ = 80,
x₁₃ + x₂₃ = 70.
Заметим, что суммарная продолжительность выполнения операций совпадает с суммарным временем работы станков: 60 + 80 + 70 = 110 +
+ 100 (ч). Обозначим через c_ij производительность i-го станка при выполнении j-й операции. Тогда количество деталей, обработанных на i-м станке при выполнении j-й операции, будет равно c_ijx_ij. Общее же количество деталей, обработанных на двух станках при выполнении трех указанных операций, составит = 4x₁₁ + 8x₁₂ + 9x₁₃ + 7x₂₁ + 3x₂₂ + 5x₂₃. В условиях решаемой задачи в качестве критерия экономической эффективности нужно принять максимум этой величины.
Таким образом, математическая модель данной экономической ситуации действительно совпадает с описываемой моделью при условии максимизации целевой функции.
Анализ экономической ситуации варианта 2 подтверждает, что алгоритм решения транспортной задачи может быть использован при
решении задач, далеких от транспортировки груза. Доказательством этого может служить и рассматриваемый ниже пример 2. Конечно, при решении таких задач необходимо учитывать их специфику, что должно отражаться в различных экономических интерпретациях переменных и констант, входящих в математические модели указанных задач. Так, например, если в «чисто» транспортной задаче коэффициенты целевой функции интерпретируются как транспортные расходы, а переменные — как количество перевозимого груза, то в задаче об использовании производственного оборудования коэффициенты целевой функции интерпретируются как производительность, а переменные — как затраты времени.