Балашовский филиал

Замечание 2. Часто в качестве А₁,…, А_m и В₁,…, В_n выступают соответственно пункты производства и пункты потребления однородного продукта, а и интерпретируются тогда как суммарное количество произведенного и потребленного продукта.
Построим модель рассматриваемой экономической ситуации. План перевозок задается матрицей X = (x_ij), где x_ij — число единиц груза, перевозимого из пункта А_i в пункт В_j. При этом, конечно, x_ij 0 (i=1, 2,…, m;
j = 1, 2,…, n). Тогда x_i1 + x_i2 +...+ x_in — это общее количество груза, которое можно отправить из пункта А_i в пункты В₁,…, В_n, а x_1j+x_2j+...+x_mj — общее количество груза, которое можно принять в пункте В_j из пунктов А₁,…, А_m. Предположение о совпадении суммарных запасов груза и суммарных потребностей в нем приводит к системе линейных равенств
a_i для i = 1, 2,…, m;
b_j для j =1, 2,…, n.
Линейная зависимость между транспортными расходами и перевозимым количеством груза позволяет определить стоимость перевозки груза из пункта А_i в пункт В_j как величину, равную c_ijx_ij. Тогда общая стоимость всех перевозок составит . В описываемой ситуации лица, принимающие решения (для краткости обозначим их ЛПР), в качестве критерия экономической эффективности должны принять минимум этой величины.
Таким образом, математическая модель данной экономической ситуации имеет следующий вид:
L(X ) =  min
при ограничениях:
= a_i для i = 1, 2,…, m;
= b_j для j = 1, 2,…, n.
x_ij 0 для i = 1, 2,…, m и j =1, 2,…, n.
Как и в предыдущих случах, следует найти не только само значение min L(X), но и точки, в которых оно достигается, то есть получить оптимальную матрицу X = (x_ij) — оптимальный план перевозок. Рассмотренная задача носит название транспортной задачи.
Замечание 3. Сделаем несколько уточнений. Рассмотренная задача называется закрытой (= сбалансированной) транспортной задачей. Так называют транспортные задачи, в которых общий объем груза, готового
к отправлению, совпадает с объемом груза, который готовы принять
в пунктах назначения: . Если же указанные объемы не совпадают, то транспортная задача называется открытой. При этом, если  , то количество груза, равное – , остается в пунктах отправления невостребованным. Тогда вводят гипотетического (виртуального) (n + 1)-го получателя с готовностью принять груз указанного объема и считают транспортные расходы c_{i, n +1} равными 0 для всех i. Таким образом, при введении виртуального получателя транспортная задача становится сбалансированной: = , где b_n+1 = – . Математическая модель такой экономической ситуации имеет вид:
L(X ) =  min
при ограничениях:
= a_i для i =1, 2,…, m;
= b_j для j =1, 2,…, n, n + 1.
x_ij 0 для i =1, 2,…, m и j =1, 2,…, n, n + 1.
Если же  , то вводят гипотетический (виртуальный) пункт отправления А_m+1, содержащий a_m+1 единиц готового к отправке груза, и транспортные расходы c_m+1,j считают равными 0 для всех j. Такое изменение начальных условий также приводит к тому, что транспортная задача становится сбалансированной: = . Математическую модель описанной ситуации предлагается составить самостоятельно.
Замечание 4. ЛПР могут руководствоваться, вырабатывая свою стратегию, принципом максимизации суммарного дохода от перевозок. Тогда транспортная ЗЛП задается следующими элементами:

• 
  двумя конечными множествами {А₁,…, А_m} и {В₁,…, В_n}, экономическая интерпретация элементов которых совпадает с интерпретацией соответствующих элементов в рассмотренной выше минимизационной транспортной задаче;
  
• 
  неотрицательными векторами (a₁,…, a_m) и (b₁,…, b_n), координаты которых a_i и b_j определяют количество единиц груза, готового к отправлению и получению в пунктах A_i и B_j соответственно;
  
• 
  матрицей C = (c_ij), где c_ij — доход от перевозки единицы груза из пункта A_i в пункт B_j.
  

В этом случае оптимальный план должен максимизировать суммарный доход от перевозок:
L(X ) =  max.