Bajardi: Ражабалиев Шавкат Qabul qildi

3. Vektorlarning chiziqli bog‘liqligi.
VEKTOR TIZIMINING CHIZIQLI BOG'LIQLIGINI ANIQLASH. VEKTORLARNING CHIZIQLI BOG'LIQLIGI VA CHIZIQLI MUSTAQILLIGI
Ta'rif. Vektorlarning chiziqli birikmasi x 1, ..., x n koeffitsientli a 1, ..., a n - bu vektor
x 1 a 1 + ... + x n a n.
ahamiyatsizbarcha x 1, ..., x n koeffitsientlari nolga teng bo'lsa.
Ta'rif. X 1 a 1 + ... + x n a n chiziqli birikmasi deyiladi ahamiyatsizagar x 1, ..., x n koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng bo'lmasa.
chiziqli mustaqilagar bu vektorlarning nol vektorga teng bo'lmagan noan'anaviy birikmasi bo'lmasa.
Ya'ni a 1, ..., a n vektorlari chiziqli ravishda mustaqil, agar x 1 a 1 + ... + x n a n \u003d 0 bo'lsa va faqat x 1 \u003d 0, ..., x n \u003d 0 bo'lsa.
Ta'rif. A 1, ..., a n vektorlari deyiladi chiziqli bog'liqagar bu vektorlarning nol vektoriga teng nrivrivial birikmasi bo'lsa.
CHIZIQQA BOG'LIQ VEKTORLARNING XUSUSIYATLARI:
2-D va 3-D vektorlari uchun.
Ikki chiziqli qaram vektor kollineardir. (Lineer vektorlar chiziqli bog'liq.)
3 o'lchovli vektorlar uchun.
Uchta chiziqli bog'liq vektorlar bir tekislikdir. (Uchta planli vektor chiziqli bog'liqdir.)

• 
  N o'lchovli vektorlar uchun.
  

n + 1 vektorlari doimo chiziqli bog'liq.


VEKTORLARNING CHIZIQLI BOG'LIQLIGI VA CHIZIQLI MUSTAQILLIGI UCHUN TOPSHIRIQLARGA MISOLLAR:
Misol 1. a \u003d (3; 4; 5), b \u003d (-3; 0; 5), c \u003d (4; 4; 4), d \u003d (3; 4; 0) vektorlarning chiziqli mustaqilligini tekshiring.
Qaror:
Vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi, chunki vektorlarning o'lchami vektorlar sonidan kam.
2-misol. A \u003d (1; 1; 1), b \u003d (1; 2; 0), c \u003d (0; -1; 1) vektorlarning chiziqli mustaqilligini tekshiring.
Qaror:

	x 1 + x 2 \u003d 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 \u003d 0
	x 1 + x 3 \u003d 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; ikkinchisini uchinchi qatorga qo'shing:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Ushbu echim tizimning ko'plab echimlariga ega ekanligini ko'rsatadi, ya'ni x, 1, x 2, x 3 raqamlarining nolga teng bo'lmagan kombinatsiyasi mavjud, shunda a, b, c vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'ladi, masalan:
A + b + c \u003d 0
va bu a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqligini anglatadi.
Javob: a, b, c vektorlari chiziqli bog'liq.
Misol 3. a \u003d (1; 1; 1), b \u003d (1; 2; 0), c \u003d (0; -1; 2) vektorlarning chiziqli mustaqilligini tekshiring.
Qaror: Ushbu vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'ladigan koeffitsientlarning qiymatlarini topaylik.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 \u003d 0
Ushbu vektor tenglamasini tizim sifatida yozish mumkin chiziqli tenglamalar

	x 1 + x 2 \u003d 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 \u003d 0
	x 1 + 2x 3 \u003d 0

Keling, ushbu tizimni Gauss usuli yordamida hal qilaylik

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

ikkinchi qatordan birinchisini olib tashlang; uchinchi qatordan birinchisini olib tashlang:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; ikkinchisini uchinchi qatorga qo'shing.

Vektorlar algebrasini o'rganishda vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi tushunchalari juda muhimdir, chunki o'lchov va makon asoslari tushunchalari ularga asoslanadi. Ushbu maqolada biz ta'riflarni beramiz, chiziqli bog'liqlik va mustaqillikning xususiyatlarini ko'rib chiqamiz, chiziqli bog'liqlik vektorlari tizimini o'rganish algoritmini olamiz va misollarning echimlarini batafsil tahlil qilamiz.

Sahifa navigatsiyasi.
VEKTORLI TIZIMNING CHIZIQLI BOG'LIQLIGINI VA CHIZIQLI MUSTAQILLIGINI ANIQLASH.
P n o'lchovli vektorlar to'plamini ko'rib chiqing, ularni quyidagicha belgilang. Keling, ushbu vektorlar va ixtiyoriy sonlarning chiziqli birikmasini tuzaylik

(haqiqiy yoki murakkab):. N-o'lchovli vektorlar bo'yicha operatsiyalarning ta'rifiga, shuningdek, vektorlarni qo'shish va vektorni songa ko'paytirish operatsiyalarining xususiyatlariga asoslanib, yozma chiziqli birikma ba'zi n-o'lchovli vektorni ifodalaydi, ya'ni.
Vektor tizimining chiziqli bog'liqligi ta'rifiga shunday kelamiz.
Ta'rif.
Agar chiziqli kombinatsiya nol vektorni ko'rsatishi mumkin bo'lsa, unda raqamlar orasida

kamida bitta nolga teng, keyin vektor tizimi deyiladi chiziqli bog'liq.
Ta'rif.
Agar chiziqli kombinatsiya faqat barcha raqamlar bo'lganda nol vektor bo'lsa

nolga teng, keyin vektorlar tizimi deyiladi chiziqli mustaqil.
CHIZIQLI QARAMLIK VA MUSTAQILLIK XUSUSIYATLARI.
Ushbu ta'riflarga asoslanib, biz shakllantiramiz va isbotlaymiz vektor tizimining chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi xususiyatlari.
Agar siz chiziqlarga bog'liq bo'lgan vektorlar tizimiga bir nechta vektorlarni qo'shsangiz, unda hosil bo'lgan tizim chiziqli bog'liq bo'ladi.
Dalillar.
Vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lganligi sababli, agar sonlardan kamida bitta nolga teng bo'lmagan raqam bo'lsa, tenglik mumkin

... Bo'lsin.
Dastlabki vektorlar tizimiga s ko'proq vektorlarni qo'shing

va biz tizimni olamiz. Va beri, keyin ushbu shakl tizimining vektorlarining chiziqli birikmasi

nol vektorni ifodalaydi va. Shuning uchun hosil bo'lgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Agar chiziqli mustaqil vektorlar tizimidan bir nechta vektorlarni chiqarib tashlasak, unda hosil bo'lgan tizim chiziqli mustaqil bo'ladi.
Dalillar.
Olingan tizim chiziqli bog'liq deb taxmin qilaylik. Ushbu vektor tizimiga barcha tashlangan vektorlarni qo'shsak, biz asl vektor tizimini olamiz. Shart bo'yicha, u chiziqli mustaqil va oldingi chiziqli qaramlikning xususiyati tufayli chiziqli bog'liq bo'lishi kerak. Biz qarama-qarshilikka duch keldik, shuning uchun bizning taxminimiz noto'g'ri.
Agar vektorlar tizimida kamida bitta nol vektor bo'lsa, unda bunday tizim chiziqli bog'liqdir.
Dalillar.
Ushbu vektorlar tizimidagi vektor nolga teng bo'lsin. Dastlabki vektor tizimi chiziqli ravishda mustaqil bo'lsa deylik. Keyin vektor tengligi faqat qachon mumkin bo'ladi. Ammo, agar siz noldan boshqasini olsangiz, unda tenglik baribir to'g'ri bo'ladi, chunki. Shuning uchun bizning taxminimiz noto'g'ri va asl vektor tizimi chiziqli bog'liqdir.
Agar vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, unda uning vektorlaridan kamida bittasi boshqalarga nisbatan chiziqli ifodalanadi. Agar vektorlar tizimi chiziqli ravishda mustaqil bo'lsa, u holda vektorlarning hech biri boshqalari bilan ifodalanmaydi.
Dalillar.
Birinchidan, biz birinchi gapni isbotlaymiz.
Vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq bo'lsin, u holda kamida bitta nolga teng bo'lmagan raqam mavjud va tenglik rost. Ushbu tenglikni nisbatan hal qilish mumkin, chunki bu holda bizda mavjud

Binobarin, vektor kerak bo'lganda tizimning qolgan vektorlari bo'yicha chiziqli ravishda ifodalanadi.

Endi ikkinchi gapni isbotlaylik.
Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lganligi sababli, tenglik faqat uchun mumkin.
Aytaylik, tizimning ba'zi bir vektori boshqalari bo'yicha chiziqli ravishda ifodalangan. Bu vektor shunday bo'lsin. Ushbu tenglikni qayta yozish mumkin, chunki uning chap tomonida tizim vektorlarining chiziqli birikmasi mavjud va vektor oldidagi koeffitsient nolga teng emas, bu asl vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligini ko'rsatadi. Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka keldik, bu mulk isbotlanganligini anglatadi.
So'nggi ikkita xususiyatdan muhim bir bayonot kelib chiqadi:
agar vektor tizimida vektorlar bo'lsa va qaerda - o'zboshimchalik bilan raqam, keyin u chiziqli bog'liqdir.
LINEER BOG'LIQLIK UCHUN VEKTORLAR TIZIMINI O'RGANISH.
Muammoni keltirib chiqaylik: biz vektor tizimining chiziqli qaramligini yoki chiziqli mustaqilligini o'rnatishimiz kerak.
Mantiqiy savol: "uni qanday hal qilish kerak?"
Amaliy nuqtai nazardan foydali narsa, yuqorida ko'rib chiqilgan vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi ta'riflari va xususiyatlaridan kelib chiqishi mumkin. Ushbu ta'riflar va xususiyatlar quyidagi holatlarda vektor tizimining chiziqli bog'liqligini aniqlashga imkon beradi:
Ko'pchilik bo'lgan boshqa holatlar haqida nima deyish mumkin?
Keling, buni aniqlaymiz.
Maqolada keltirilgan matritsa daraja teoremasini shakllantirishni eslang.
Teorema.
Bo'lsin r - n tartibli A matritsaning darajasi, n ga,

... M A matritsaning asosiy minori bo'lsin. A matritsasining asosiy M minorini shakllantirishda ishtirok etmaydigan barcha satrlari (barcha ustunlari) matritsaning asosiy M minorasini hosil qiluvchi qatorlari (ustunlari) orqali chiziqli ravishda ifodalanadi.

Endi matritsa darajasidagi teorema bilan chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini o'rganish o'rtasidagi bog'liqlikni tushuntiramiz.

Qatorlari o'rganilayotgan tizimning vektorlari bo'lgan A matritsasini tuzamiz:

Vektor tizimining chiziqli mustaqilligi nimani anglatadi?
Vektorlar tizimining chiziqli mustaqilligining to'rtinchi xususiyatidan ma'lumki, tizim vektorlarining hech biri boshqalari bilan ifodalanmaydi. Boshqacha qilib aytganda, A matritsaning biron bir qatori boshqa qatorlar bo'yicha chiziqli ravishda ifodalanmaydi, shuning uchun vektorlar tizimining chiziqli mustaqilligi Rank (A) \u003d p shartiga teng bo'ladi.
Vektor tizimining chiziqli bog'liqligi nimani anglatadi?
Hammasi juda oddiy: A matritsaning kamida bitta qatori boshqalar nuqtai nazaridan chiziqli ravishda ifodalanadi, shuning uchun vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi Rank (A) shartiga teng bo'ladi
<="" b="" >.