|
Mavzu: Kompleks tekislik. Kompleks tekislikda chiziqlar va sohalar
Bajardi: Ражабалиев Шавкат
Qabul qildi: ________________________
Reja
1. Kompleks sonning ko‘rsatkichli formasi. Eyler formulasi.
Ushbu ko‘rinishdagi songa kompleks son deyiladi, bu yerda - haqiqiy sonlar, i esa bo‘lgan mavhum birlik. x- kompleks sonning haqiqiy qismi, y esa mavhum qismi deb ataladi va , kabi belgilanadi. Agar bo‘lsa, agar bo‘lsa, sof mavhum son hosil bo‘ladi.
Geometrik nuqtai nazardan, har bir kompleks songa koordinatalar tekisligida bitta M(x, y) nuqta (yoki vektor) va, aksincha, har bir M(x, y) nuqtaga bitta kompleks son mos keladi. Barcha kompleks sonlar to‘plami C harfi bilan belgilanadi va .
va sonlar qo‘shma kompleks sonlar deyiladi.
va ikkita kompyleks sonlar uchun quyidagi amallar o‘rinli:
Ma’lumki, har bir kompleks son uchun formulalar o‘rinli. son kompleks sonning moduli deyiladi, vektor va Ox o‘qining musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan φ burchagi esa kompleks sonning argumenti deyiladi va kabi belgilanadi. U quyidagi
(1.1)formula bilan hisoblanadi. Har qanday kompleks son
(1.2)trigonometrik shaklda yoki ko‘rsatkichli shaklda ifodalanadi(chunki Eyler formulasi o‘rinli).
Agar , kompleks sonlar bo‘lsa,
(1.3) kompleks sonni
2. Kompleks tekislik. Kompleks tekislikda chiziqlar va sohalar
Kompleks sonning geometric tasviri
Ixtiyoriy kompleks sonni olaylik. Bu (x,y) juftlik bilan aniqlansin:
Tekislikda absissasi x ga, ordinatasi esa y ga teng bo’lgan nuqta z kompleks sonning geometrik tasviri deyiladi.
Xususan, (x, 0) = x ko’rinishdagi kompleks sonning geometrik tasviri absissalar o’qida joylashgan nuqta bo’ladi. (0, y) = iy ko’rinishdagi kompleks sonning geometrik tasviri esa ordinatalar o’qida joylashgan nuqta bo’ladi.
Absissalar o’qi haqiqiy o’q, ordinatalar o’qi esa mavhum o’q deb yuritiladi.
Demak, C to’plamdan olingan har bir kompleks songa tekislikda, bu sonni geometrik tasvirlovchi bitta nuqta mos kelar ekan.
Endi tekislikda ixtiyoriy nuqta olaylik. Uning absissasi x, ordinatasi y bo’lsin. Bu sonlardan tuzilgan (x, y) juftlik bitta kompleks sonni aniqlaydi. Olingan nuqtaga shu kompleks sonni mos qo’yish bilan tekislikdagi har bir nuqtaga bitta kompleks son mos kelishini aniqlaymiz.
Shunday qilib, C bilan tekislikdagi barcha nuqtalar to’plami orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatildi. Bu esa C to’plamning geometrik tasvirini tekislik deb qarash imkonini beradi. Bunday tekislik kompleks sonlar tekisligi deb ataladi va u ham C kabi belgilanadi.
Kompleks sonni boshqacha ham tasvirlash mumkin. Buning uchun fazoda Dekart koordinatalar sistemasini olib, unda markazi nuqtada, radiusi ga teng bo’lganushbu
sferani qaraymiz. Ravshanki, bu sfera o’qni (0,0,0) hamda N(0,0,1) nuqtalarda kesadi. N (0,0,1) nuqtani shimoliy qutb deb ataymiz. x va y uqlarni mos ravishda va o’qlariga ustma-ust kuyamiz.
xOy kompleks tekislikdagi nuqta bilan shimoliy N qutbni nur yordamida tutashtiramiz. Natijada nur S sferani qandaydir Z nuqta da kesadi. Biz moslikka ega bo’lamiz.
Shunday qilib, kompleks tekislikdagi barcha nuqtalar to’plami bilan sferaning nuqtalari to’plami o’zaro bir qiymatli moslikda bo’lar ekan.
Kompleks tekislikdagi z nuqta koordinata boshidan uzoqlasha borgan sari uning sferadagi tasviri N nuqtaga yaqinlasha boradi.
Agar kompleks tekislikda nuqta olinsa va uni sferadagi N ga mos keluvchi nuqta deb qaralsa, unda
to’plam bilan S sfera nuqta laridan iborat to’plam uzoro bir kiymali moslikda bo’ladi.
Bu moslik kompleks tekislikdaning stereografik proeksiyasi deyiladi.
Odatda to’plam kengaytirilgan kompleks tekislik, S sirt esa Riman sferasi deb ataladi.Sferadagi nuqta koordinatalari bilan kompleks tekislikdagi mos nuqtalar koor-dinatalari orasidagi bog’lanishni topaylik.
Ravshanki, N(0,0,1) hamda nuqtalar orqali o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi quyidagicha
bo’ladi, bunda t=0 da N nuqta, t=1 da z nuqta hosil bo’ladi.
Kompleks tekislikdagi z nuqta koordinatalari ma’lum bo’lganda Z nuqta koordinatalari lar quyidagicha aniqlanadi.
Ma’lumki nuqta ham S sferada yotadi. Shuni e’tiborga olib, larni sfera tenglamasi
Do'stlaringiz bilan baham: |
