Reja: Chiziqli bog‘liq vektorlarning xossalari

Chiziqli bog‘liq va chiziqli erkli vektorlar sistemasi.
Reja:
1.Chiziqli bog‘liq vektorlarning xossalari .
2.Vektorlar sistemalarining chiziqli bog`liqligi va chiziqli mustaqilligi mezonlari.
3.Vektorlar nazariyasi elementlari.
Bizga ta vektorlar va ta sonlar berilgan bo‘lsin, bu sonlarning mos vektorlarga ko‘paytmalarining yig‘indisini tuzamiz. Quyidagi ifodaga vektorlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasi deyiladi. vektorlar sistemasi uchun kamida bittasi noldan farqli shunday ta sonlar mavjud bo‘lsaki, ular uchun vektorlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasi nolga teng, ya’ni bo‘lsa, bunday vektorlar sistemasiga chiziqli bog‘liq sistema deb ataladi. Aks holda vektorlar chiziqli erkli deyiladi, ular uchun (2.3) tenglik faqat bo‘lgandagina o‘rinli bo‘ladi.Agar vektorlar chiziqli bog‘liq bo‘lsa, (2.3) dagi biror vektorni boshqa vektorlar orqali ifodalab olish mumkin. ifodani qoldirib qolgan ifodalarni tenglikning o‘ng tomoniga o‘tkazib ga bo‘lsak, va belgilash kiritsak, bu vektor qolgan vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘ladi:
Agar vektorlardan kamida biri qolgan vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lsa, u holda bu vektorlar chiziqli bog‘liqdir. Aks holda barcha vektorlar chiziqli erkli bo‘ladi.Ixtiyoriy vektorni ta chiziqli erkli vektorlarning chiziqli kombinasiyasi ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda shu ta vektorlar fazoning bazisi deyiladi.Bazisni hosil qiladigan vektorlar soni fazoning o‘lchami deb ataladi. Bazisga kiruvchi vektorlar bazis vektorlar deb ataladi.To‘g‘ri chiziqning o‘lchami 1 ga teng, chunki to‘g‘ri chiziqda istalgan vektor bazis hosil qiladi, qolgan vektorlar shu bazis vektor orqali ifodalanadi: (1 o‘lchovli fazo) Tekislikning o‘lchami 2 teng, chunki tekislikda kollinear bo‘lmagan istalgan ikkita va vektor chiziqli erkli bo‘lib, bazis hosil qiladi, qolgan vektorlarni esa ular orqali ushbu ko‘rinishda ifodalash mumkin: Fazoda (3 o‘lchovli fazo )
Vektorlarni bazis vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalashga bazis bo‘yicha yoyish deyiladi.Ba’zis vektorning uzunliklari har xil bo‘ladi Biz amaliyotda birlik uzunlikka ega bo‘lgan birlik vektorlardan tashkil topgan bazislar bilan shug‘ullanamiz. Bazis vektorlar bir biriga nisbatan har xil joylashgan (har xil burchak ostida) bo‘ladi. Biz koordinata o‘qlarida yotuvchi, yo‘nalishi koordinata o‘qlarining musbat yo‘nalishi bilan ustma-ust tushuvchi birlik uzunlikka ega bo‘lgan va o‘zaro perpendikulyar bo‘lgan birlik bazis vektorlar bilan shug‘ullanamiz. Bu vektorlar ortonormal vektorlar yoki ortlar deyiladi. vektorning o‘qlaridagi proeksiyalari mos ravishda bilan belgilasak, uning birlik–bazis vektorlar(ortlar) orqali yozuvi dan iborat bo‘ladi.Bu ifodaga vektorning ba’zis vektorlar yoki koordinata o‘qlari bo‘yicha yoyilmasi deyiladKoordinata boshidan chiqqan vektorga radius vektor deyiladi.Vektorlar sistemasi asosini topish algoritmi
A 1 ,A 2 ,...,A n vektorlar sistemasining asosini topish uchun quyidagilar zarur:
Vektorlar sistemasiga mos keladigan bir jinsli tenglamalar sistemasini tuzing A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =D bu tizimni keltiring
Ta'rif. Vektorlarning chiziqli birikmasi a 1 , ..., a n koeffitsientlari x 1 , ..., x n vektor deyiladi.x 1 a 1 + ... + x n a n.ahamiyatsiz, agar barcha koeffitsientlar x 1 , ..., x n nolga teng bo'lsa.
Ta'rif. x 1 a 1 + ... + x n a n chiziqli birikma deyiladi ahamiyatsiz, agar x 1 , ..., x n koeffitsientlarining kamida bittasi nolga teng bo'lmasa.chiziqli mustaqil, agar nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlarning ahamiyatsiz birikmasi bo'lmasa.Ya'ni, a 1 , ..., a n vektorlari x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 bo'lsa, faqat x 1 = 0, ..., x n = 0 bo'lsa, chiziqli mustaqildir.
Ta'rif. a 1 , ..., a n vektorlari deyiladi chiziqli bog'liq, agar nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlarning ahamiyatsiz birikmasi mavjud bo'lsa.Vektorlar chiziqli mustaqildir. Vektorlar sistemalari qanday bo'ladi a).; b).? Yechim. a). Chiziqli birikma tuzing va uni nolga tenglashtiring Chiziqli fazoda vektorlar bilan amallar xossalaridan foydalanib, oxirgi tenglikni shaklda qayta yozamiz Vektorlar chiziqli mustaqil bo'lganligi sababli, uchun koeffitsientlari nolga teng bo'lishi kerak, ya'ni.gif" width="12" height="23 src="> Olingan tenglamalar tizimi o'ziga xos trivial yechimga ega . Tenglik beri (*) faqat https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif saytida bajariladi width="115 height=20" height="20"> - chiziqli mustaqil.Biz tomonidan taqdim etilgan vektorlar ustida chiziqli amallar uchun turli
iboralar yaratish imkonini beradi vektor kattaliklari va ushbu operatsiyalar uchun o'rnatilgan xususiyatlar yordamida ularni o'zgartiring. Berilgan a 1 , ... va n vektorlar toʻplamiga asoslanib, shakl ifodasini tuzish mumkin. bu yerda a 1 , ... va n ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Bu ifoda deyiladi vektorlarning chiziqli birikmasi a 1, ..., a n. a i , i = 1, n , raqamlari chiziqli birikma koeffitsientlari. Vektorlar to'plami ham deyiladi vektor tizimi. Kiritilgan vektorlarning chiziqli birikmasi tushunchasi bilan bog'liq holda berilgan a 1, ..., a n vektorlar tizimining chiziqli birikmasi sifatida yozilishi mumkin bo'lgan vektorlar to'plamini tavsiflash muammosi paydo bo'ladi. Bundan tashqari, vektorning chiziqli birikma shaklida tasviri mavjud bo'lgan shartlar va bunday tasvirning o'ziga xosligi haqidag
i Ta'rif 2.1. a 1 , ... va n vektorlari deyiladi chiziqli bog'liq, a 1 , ... , a n koeffitsientlar to'plami bo'lsa a 1 a 1 + ... + a n a n = 0 (2.2) va bu koeffitsientlarning kamida bittasi nolga teng emas. Belgilangan koeffitsientlar to'plami mavjud bo'lmasa, vektorlar chaqiriladi chiziqli mustaqil. Agar a 1 = ... = a n = 0 bo'lsa, u holda, aniqki, a 1 a 1 + ... + a n a n = 0. Buni hisobga olib, biz quyidagilarni aytishimiz mumkin: a 1 , ..., va vektorlar. Agar (2.2) tenglikdan barcha a 1, ..., a n koeffitsientlari nolga teng ekanligi kelib chiqsa, n chiziqli mustaqildir. Quyidagi teorema yangi tushunchaning nima uchun "bog'liqlik" (yoki "mustaqillik") atamasi deb atalishini tushuntiradi va chiziqli bog'liqlikning oddiy mezonini beradi. 2.1 teorema. a 1 , ..., va n, n > 1 vektorlari chiziqli bogʻliq boʻlishi uchun ulardan biri boshqalarning chiziqli birikmasi boʻlishi zarur va yetarli. ◄ Zarurlik. Faraz qilaylik, a 1, ... va n vektorlari chiziqli bog‘liq. Chiziqli bog'liqlikning 2.1 ta'rifiga ko'ra, (2.2) tenglikda chapda kamida bitta nolga teng bo'lmagan koeffitsient mavjud, masalan a 1 . Birinchi atamani tenglikning chap tomonida qoldirib, qolganlarini o'ng tomonga o'tkazamiz, odatdagidek belgilarini o'zgartiramiz. Hosil bo'lgan tenglikni a 1 ga bo'lib, olamiz a 1 =-a 2 /a 1 ⋅ a 2 - ... - a n / a 1 ⋅ a n bular. a 1 vektorining qolgan a 2, ... va n vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida tasviri. Adekvatlik. Masalan, birinchi vektor a 1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin: a 1 = b 2 a 2 + ... + b n a n. Barcha shartlarni o'ng tomondan chapga o'tkazsak, biz 1 - b 2 a 2 - ... - b n a n = 0 ni olamiz, ya'ni. a 1 , ... va n vektorlarining a 1 = 1, a 2 = - b 2, ..., a n = - b n koeffitsientlari bilan chiziqli birikmasi, ga teng nol vektor. Ushbu chiziqli kombinatsiyada barcha koeffitsientlar nolga teng emas. 2.1 ta'rifiga ko'ra a 1, ... va n vektorlari chiziqli bog'liqdir.
Chiziqli bog'liqlikning ta'rifi va mezoni shunday tuzilganki, ular ikki yoki undan ortiq vektor mavjudligini bildiradi. Biroq, bitta vektorning chiziqli bog'liqligi haqida ham gapirish mumkin. Ushbu imkoniyatni amalga oshirish uchun "vektorlar chiziqli bog'liq" o'rniga "vektorlar tizimi chiziqli bog'liq" deyishimiz kerak. “Bir vektorli sistema chiziqli bog’liq” iborasi bu yagona vektorning nolga teng ekanligini anglatishini oson tushunish mumkin (chiziqli birikmada faqat bitta koeffitsient mavjud va u nolga teng bo’lmasligi kerak). Chiziqli bog'liqlik tushunchasi oddiy geometrik talqinga ega. Bu talqin quyidagi uchta ibora bilan oydinlashadi. 2.2 teorema. Ikki vektor chiziqli bog'liq bo'ladi, agar ular faqat va faqat kollinear. ◄ Agar a va b vektorlari chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda ulardan biri, masalan, a, boshqasi orqali ifodalanadi, ya'ni. ba'zi haqiqiy sonlar uchun a = lb. 1.7 ta'rifiga ko'ra ishlaydi vektorlar soni bo'yicha, a va b vektorlari kollineardir. Endi a va b vektorlari kollinear bo'lsin. Agar ularning ikkalasi ham nolga teng bo'lsa, ularning chiziqli bog'liqligi aniq, chunki ularning har qanday chiziqli birikmasi nol vektorga teng. Bu vektorlardan biri 0 ga teng bo'lmasin, masalan b vektori. Vektorlar uzunliklarining nisbatini l bilan belgilang: l = |a|/|b|. Kollinear vektorlar bo'lishi mumkin bir tomonlama yoki qarama-qarshi yo'nalishlar. Ikkinchi holda, biz l belgisini o'zgartiramiz. Keyin, 1.7 ta'rifini tekshirib ko'ramiz, a = lb. 2.1 teoremaga ko'ra a va b vektorlar chiziqli bog'liqdir.
Izoh 2.1. Ikki vektorda chiziqli bog'liqlik mezonini hisobga olgan holda, isbotlangan teoremani quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: ikkita vektor, agar ulardan biri ikkinchisining ko'paytmasi sifatida raqam bilan ifodalangan bo'lsa, ikkita vektor kollinear hisoblanadi. Bu ikki vektorning kollinearligi uchun qulay mezondir. 2.3 teorema. Uch vektor chiziqli bog'liq bo'ladi, agar ular bo'lsa koplanar. ◄ Agar uchta a, b, c vektor chiziqli bogʻliq boʻlsa, 2.1-teoremaga koʻra, ulardan biri, masalan, a, boshqalarning chiziqli birikmasidir: a = bb + gc. b va c vektorlarning kelib chiqishini A nuqtada birlashtiramiz. Shunda bb, gc vektorlari A nuqtada umumiy koordinataga ega bo‘ladi va parallelogramma ularning yig'indisini boshqaradi, bular. a vektori A va boshli vektor bo'ladi oxiri, bu yig'indi vektorlari asosida qurilgan parallelogrammaning cho'qqisi. Shunday qilib, barcha vektorlar bir tekislikda yotadi, ya'ni ular koplanardir. a, b, c vektorlar koplanar bo'lsin. Agar bu vektorlardan biri nolga teng bo'lsa, u boshqalarining chiziqli birikmasi bo'lishi aniq. Nolga teng chiziqli birikmaning barcha koeffitsientlarini olish kifoya. Shuning uchun, biz barcha uch vektor nolga teng emas deb taxmin qilishimiz mumkin. Mos boshlash umumiy nuqtada bu vektorlar O. Ularning uchlari mos ravishda A, B, C nuqtalari bo'lsin (2.1-rasm). C nuqta orqali O, A va O, B juft nuqtalari orqali o'tuvchi chiziqlarga parallel ravishda chiziqlar o'tkazing. Kesish nuqtalarini A" va B" bilan belgilab, biz OA"CB" parallelogrammasini olamiz, shuning uchun OC" = OA" + OB. " . Vektor OA" va nolga teng bo'lmagan a= OA vektori kollineardir va shuning uchun ularning birinchisini ikkinchisini haqiqiy songa ko'paytirish yo'li bilan olish mumkin a:OA" = aOA. Xuddi shunday, OB" = bOB , b ∈ R. Natijada, OC" = a OA + bOB ekanligini olamiz, ya'ni c vektori a va b vektorlarining chiziqli birikmasidir. 2.1-teoremaga ko'ra, a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.2.4 teorema. Har qanday to'rt vektor chiziqli bog'liqdir. ◄ Isbot 2.3-teoremadagi kabi sxema bo'yicha amalga oshiriladi. A, b, c va d ixtiyoriy to'rt vektorni ko'rib chiqaylik. Agar to'rt vektordan biri nolga teng bo'lsa yoki ular orasida ikkita kollinear vektor bo'lsa yoki to'rt vektordan uchtasi koplanar bo'lsa, bu to'rt vektor chiziqli bog'liqdir. Misol uchun, agar a va b vektorlar kollinear bo'lsa, biz ularning chiziqli birikmasini aa + bb = 0 nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar bilan tuzamiz va keyin bu kombinatsiyaga qolgan ikkita vektorni qo'shamiz va nollarni koeffitsient sifatida olamiz. Biz 0 ga teng bo'lgan to'rtta vektorning chiziqli birikmasini olamiz, unda nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar mavjud. Shunday qilib, tanlangan to'rtta vektor orasida nol, ikkitasi kollinear va uchtasi koplanar emas deb taxmin qilishimiz mumkin. Ularning umumiy boshlanishi sifatida O nuqtani tanlaymiz.Unda a,b,c,d vektorlarning uchlari ba’zi A,B,C,D nuqtalar bo’ladi (2.2-rasm). D nuqtasi orqali uchta tekislik chizamiz, tekisliklarga parallel OBC, OCA, OAB va bu tekisliklarning mos ravishda OA, OB, OS chiziqlari bilan kesishish nuqtalari A", B", C" bo'lsin. OA"C"B"C"B"DA parallelepipedini olamiz. ", va a, b, c vektorlari uning O cho'qqisidan chiqadigan qirralarida yotadi. OC"DC" to'rtburchak parallelogramm bo'lgani uchun, u holda OD = OC" + OC" . O'z navbatida, OS" segmenti diagonaldir. parallelogrammaning OA"C"B", shunday qilib, OC" = OA" + OB" , va OD = OA" + OB"+OC .Shuni ta'kidlash kerakki, OA ≠ 0 va OA" , OB ≠ 0 va OB" , OC ≠ 0 va OC" vektorlari juftligi kollineardir va shuning uchun biz a, b, g koeffitsientlarini tanlashimiz mumkin, shunda OA" = aOA , OB" = bOB va OC" = gOC . Nihoyat, biz OD = aOA + bOB + gOC ni olamiz. Binobarin, OD vektori qolgan uchta vektor bilan ifodalanadi va 2.1 teoremaga ko'ra barcha to'rt vektor chiziqli bog'liqdir. Ushbu maqolada biz quyidagilarni ko'rib chiqamiz: kollinear vektorlar nima; kollinear vektorlar uchun qanday shartlar mavjud; kollinear vektorlarning xossalari qanday; kollinear vektorlarning chiziqli bog'liqligi qanday.
1 Ta'rif 1 Kollinear vektorlar bir xil chiziqqa parallel yoki bir chiziqda yotuvchi vektorlardir.Quyidagi shartlardan biri to‘g‘ri bo‘lsa, ikkita vektor kollinear hisoblanadi: shart 1 . a va b vektorlari a = l b bo'lgan l soni bo'lsa, kollineardir; shart 2 . a va b vektorlari koordinatalarning teng nisbati bilan kollineardi.
: a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2 shart 3 . a va b vektorlari kollinear bo'ladi, agar vektor mahsuloti va nol vektor teng bo'lsa: a ∥ b ⇔ a , b = 0 Izoh 1 2-shart vektor koordinatalaridan biri nolga teng bo'lsa, qo'llanilmaydi. Izoh 2 3-shart faqat fazoda berilgan vektorlar uchun amal qiladi.Vektorlar sistemalarining chiziqli bog`liqligi va chiziqli mustaqilligi mezonlari Teorema Vektor fazodagi vektorlar sistemasi faqat sistema vektorlaridan biri tizimning qolgan vektorlari bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan taqdirdagina chiziqli bog'liq bo'ladi. Isbot Sistema e 1, e 2, bo'lsin. . . , e n chiziqli bog'liqdir. Ushbu sistemaning nol vektoriga teng chiziqli birikmasini yozamiz: a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + a n e n = 0 unda birikmaning koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng emas. a k ≠ 0 k ∈ 1, 2, bo'lsin. . . , n. Tenglikning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan koeffitsientga
ajratamiz: a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0 Belgilang: A k - 1 a m, bu erda m ∈ 1, 2,. . . , k - 1, k + 1, n Unday bo `lsa: b 1 e 1 + . . . + b k - 1 e k - 1 + b k + 1 e k + 1 +. . . + bn e n = 0 yoki e k = (- b 1) e 1 + . . . + (- b k - 1) e k - 1 + (- b k + 1) e k + 1 + . . . + (- b n) e n Bundan kelib chiqadiki, tizim vektorlaridan biri tizimning barcha boshqa vektorlari bilan ifodalanadi. Qaysi narsa isbotlanishi kerak edi (p.t.d.). Adekvatlik Vektorlardan biri tizimning boshqa barcha vektorlari bilan chiziqli ifodalansin: e k = g 1 e 1 +. . . + g k - 1 e k - 1 + g k + 1 e k + 1 +. . . + g n e n e k vektorini ushbu tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz: 0 = g 1 e 1 +. . . + g k - 1 e k - 1 - e k + g k + 1 e k + 1 +. . . + g n e n e k vektorining koeffitsienti - 1 ≠ 0 ga teng bo'lgani uchun e 1 , e 2 , vektorlar sistemasi orqali nolning notrivial tasvirini olamiz. . . , e n va bu, o'z navbatida, berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'liqligini bildiradi. Qaysi narsa isbotlanishi kerak edi (p.t.d.). Natija: Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil hisoblanadi, agar uning vektorlaridan hech biri tizimning boshqa barcha vektorlari bilan ifodalana olmasa. Null vektor yoki ikkita teng vektorni o'z ichiga olgan vektor tizimi chiziqli bog'liqdir.