Bajardi: 20. 04-guruh talabasi: G. Ergasheva Ilmiy rahbar

3-§. Ikki karrali integralni ba’zi bir tadbiqlari

Ushbu paragrafda ikki karrali intagralning ba’zi bir tadbiqlarini keltiramiz. Jismning xajmi va uning ikki karrali integral orqali ifodalanishi. fazoda biror chegaralangan jismni qaraylik. Bu jism ichiga ko’pyoqlar joylashgan, o’z navbatida jism esa ko’pyoqlar ichida joylashgan bo’lsin. ko’pyoqlar xajmlarini bilan, ko’pyoqlar xajmlarini bilan belgilaylik. Biz ko’pyoqlarning xajmlari tushunchasini va uni xisoblashni ( xuddi tekislikdagi ko’pburchakning yuzi tushunchasi va uni hisoblash kabi ) bilamiz deb olamiz. Natijada jismning ichida joylashgan ko’pyoqlar xajmlaridan iborat to’plam, ichiga jism joylashgan ko’pyoqlar xajmlaridan to’plamlar hosil bo’ladi. to’plam yuqoridan, to’plam quyidan chegaralanganligi sababli to’plam aniq yuqori chegaraga, to’plam esa aniq quyi chegaraga ega bo’ladi :

Ravshanki,
< .
4-ta’rif. Agar ya’ni tenglik o’rinli bo’lsa, u holda jism xajmga ega deb ataladi va miqdor jismning hajmi deyiladi.
Demak,
.
Endi jism sifatida yuqoridan sirt bilan, yon tomonlaridan yasovchilari o’qiga parallel bo’lgan slindrik sirt hamda pastdan tekisligidagi soha bilan chegaralangan jismni qaraylik. yopiq sohaning bo’linishini olamiz. funksiya da uzluksiz bo’lganligi sababli, bu funksiya bo’lishining har bir bo’lagida ham uzluksiz bo’lib, unda

larga ega bo’ladi.
Quyidagi

yig’indilarni tuzamiz . Bu yig’indilarning birinchisi jism ichiga joylashgan ko’pyoqning xajmini, ikkinchisi esa jismni o’z ichiga olgan ko’pyoqning xajmini ifodalaydi.
Ravshanki, bu ko’pyoqlar demak, ularning xajmlari ham funksiyaga hamda sohaning bo’linishiga bog’liq bo’ladi :

sohaning turli bo’linishlari olinsa, ularga nisbatan jismning ichiga joylashgan hamda jismni o’z ichiga olgan turli ko’pyoqlar yasaladi. Natijada bu ko’pyoqlar xajmlaridan iborat quyidagi

to’plamlar hosil bo’ladi. Bunda to’plam yuiqoridan, to’plam esa quyidan chegaralangan bo’ladi. Demak, bu to’plamlarning aniq chegaralari

mavjud. Shartga ko’ra funksiya yopiq sohada uzluksiz. U holda Kantor teoremasining natijasiga asosan, son olinganda ham, songa ko’ra shunday son topiladiki, sohaning diametric bo’lgan har qanday bo’linishi uchun har bir da funksiyaning tebranishi

bo’ladi. Unda

Demak, sohaning diametri bo’lgan har qanday bo’linish olinganda ham bu bo’linishga mos jismning ichiga joylashgan hamda bu ni o’z ichiga olgan ko’pyoq hajmlari uchun har doim

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan esa
(7)
tenglik kelib chiqadi. Bu tenglik jism xajmga ega bo’lishini bildiradi.
Endi yuqorida o’rganilgan yig’indilarni Dabru yig’indilar bilan taqqoslab,
ham yig’indilar funksiyaning sohada mos ravishda Darbuning quyi hamda yuqori yig’indilari ekanini topamiz. Shuning uchun ushbu

miqdorlar funksiyaning quyi hamda yuqori ikki karrali intervallari bo’ladi, ya’ni

yuqoridagi (7) munosabatga ko’ra

tenglik o’rinli ekani ko’rinadi. Demak,

Shunday qilib, bir tomondan, qaralayotgan jism xajmga ega ekani, ikkinchi tomondan, uning xajmi funksiyaning soha bo’yicha ikki karrali integraliga teng ekani isbot etildi. Demak, jismning xajmi uchun ushbu
(8)
formula o’rinli.
5-misol. Ushbu

ellipsoidning xajmi topilsin. Bu ellipsoid tekislikka nisbatan simmetrikdir. yuqori qismini o’rab turgan sirt

bo’ladi.
Yuqoridagi (8) formulaga ko’ra ellipsoidning xajmi :

bo’ladi, bunda

integralda

almashtirishni bajaramiz. Bu sistemaning yakobiani

bo’ladi. sistema sohani sohaga akslantiradi. formulaga ko’ra

bo’ladi. Demak,

Shunday qilib, ellipsoidning xajmi

bo’ladi.