B erdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti

4-teorema. (Koshi teoremasi) va funksiyalar segmentda
aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Agar bu funksiyalar intervalda chekli
va hosilalarga ega bo’lib, uchun bo’lsa, u
holda shunday nuqta topiladiki,

bo’ladi.
Isboti. Avvalo, bo’lishi kerak. Quyidagi

funksiyani qaraymiz. Bu funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qano-
atlantiradi. Unda Roll teoremasiga binoan shunday nuqta topiladiki,
bo’ladi.
Ravshanki,

bu va munosabatlardan ya’ni bo’lishi kelib chiqadi.
Misol. Ushbu funksiya intervalning ichki nuq-
tasida o’zining eng kichik qiymatiga erishsa ham, bu funksiya uchun Ferma
teoremasi o’rinlanmasligini isbotlang.
Yechilishi.Berilgan funksiya nuqtada o’zining eng kichik qiymatiga
erishadi. Biroq funksiya shu nuqtada chekli hosilaga ega emas. Bu
ushbu

Nisbatning da chekli limitga ega emasligidan kelib chiqadi. Demak,
Ferma teoremasining sharti bajarilmaydi. Bu esa mazkur misolda teoremaning
xulosasi o’rinli emasligini ko’rsatadi.
Misol. Ushbu , funksiya hosilasini
nolga aylantiradigan nuqtalardan tuzilgan ketma-ketlikning limiti nol
bo’lishini ko’rsating.
Yechilishi. Ravshanki, berilgan funksiya segmentda uzluksiz,
intervalda chekli hosilaga ega va Demak, funksiya
segmentda Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. seg-
mentni quyidagi

segmentchalarga ajratamiz. Har bir segmentchada
funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Binobarin,
segmentda shunday nuqta topiladiki,
=0 bo’ladi.
Agar va

bo’lishini e’tiborga olsak, u holda

ekanligini kelib chiqadi.