Optimallashtirish usullari (Optimallashtirish masalalari, N’yuton usuli)

Optimallashtirish usullari (Optimallashtirish masalalari, N’yuton usuli)

-ma’ruza

Optimallashtirish usullari
(Optimallashtirish masalalari, N’yuton usuli).
Reja
1.Bir o`zgaruvchiga bog`liq bo`lgan funksiyalarni minimallash.
2.Minimum mavjudligining birinchi tartibli zaruriy sharti.
3. Minimum mavjudligining ikkinchi tartibli zaruriy sharti.
4. Minimum mavjudligining yetarli shartlari.
Bir o`zgaruvchiga bog`liq bo`lgan funksiyalarni minimallash.
1.Masalaning qo`yilishi.Bizga sonlar o`qida quyidagi
(1)
skalyar funksiya berilgan bo`lsin. Sonlar o`qi R1 da shunday nuqtani topishimiz kerak- ki,(.1) funksiya o`zining eng kichik qiymatiga erishsin, ya’ni
(2)
Boshqacha qilib aytganda, (2) tenglik sonlar o`qi R1 dagi barcha x lar uchun quyidagi
(3)
tengsizlik o`rinli ekanligini bildiradi.
(2) shartni qanoatlantiruvchi x0 nuqtani topish masalasi bir o`zgaruvchiga bog`liq bo`lgan funksiyalarni minimallash masalasi deyiladi. Topishimiz kerak bo`lgan x0 nuqta funksiyaga minimum beruvchi nuqta yoki qo`yilgan minimallash masalasining yechimi deyiladi. Minimallash masalasi hamma vaqt ham yechimga ega bo`lavermaydi, masalan:
funksiyalar birorta ham nuqtada minimumga erishmaydi.
Shuning uchun bundan keyin funksiyalarning minimumi mavjudligining zaruriy shartlarini tekshirishda qaralayotgan funksiyamiz minimallash masalasi yechimga ega deb faraz qilamiz.
Agar (2) shartni qanoatlantiradigan x0 nuqtani topish talab qilingan bo`lsa, bu nuqta (1) funksiyaga absolyut yoki “global” minimum beruvchi nuqta, qo`yilgan masala esa, absolyut yoki “global” minimallash deyiladi. Agar sonlar o`qidan shunday nuqta topish mumkin bo`lsaki, (3) tengsizlik, yetarli kichik son uchun
bo`lganda, sonlar o`qidagi hamma lar uchun bajarilsa, x0 nuqta (1) funksiyaga nisbiy yoki “lokal” minimum beruvchi nuqta, qo`yilgan masala esa nisbiy yoki “lokal” minimallash masalasi deyiladi.
2.Minimum mavjudligining birinchi tartibli zaruriy sharti. Nisbiy va absolyut minimum beradigan nuqtalarda bajariladigan shartni topish uchun zarur bo`lgan quyidagi teoremani isbotlaymiz.
1-teorema. Sonlar o`qida aniqlangan, uzluksiz va diffirensiallanuvchi (1) funksiya berilgan bo`lsin. Agar x0 nuqta (1) funksiyaga nisbiy minimum beruvchi nuqta bo`lsa, shu nuqtada uning birinchi tartibli hosilasi nolga teng, ya’ni
Isboti. Aksincha faraz qilamiz, ya’ni
bo`lsin. Sonlar o`qidan shunday ni tanlab olamizki,
bo`lsin . Bu yerda
sonining ishorasini bildiradi, x va x0 nuqtalar orqali
nuqtani tuzamiz. Bu nuqta ning yetarli kichik qiymatida x0 nuqtaga eng yaqin oraliqda yotadigan bo`ladi, ya’ni oldindan berilgan son uchun shunday topiladiki
bo`lganda
tengsizlik o`rinli bo`ladi. Endi
funksiyani x0 nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyib, birinchi va ikkinchi tartibli hosilalar qatnashadigan hadlar bilan chegaralansak, quyidagiga ega bo`lamiz:
yoki
ni shunday tanlab olamizki bo`lsin. U holda (4) dan quyidagiga ega bo`lamiz
yoki
Bu esa x0 nuqtaning nisbiy minimum beruvchi nuqta ekanligiga ziddir. Farazimiz noto`g`riligidan , ya’ni ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbotidan esa (1) funksiyaga nisbiy minimum beradigan x ning qiymatlari
(5)
tenglamaning ildizlari orasida ekanligi kelib chiqadi. (5) shart funksiya minimumi mavjudligining birinchi tartibli zaruriy sharti deyiladi.
3. Minimum mavjudligining ikkinchi tartibli zaruriy sharti.
x=x0 nuqtada (1) funksiya minimumi mavjudligining birinchi tartibli zaruriy sharti
(6)
bajariladi, deb faraz qilaylik.
Agar x0 nuqta (1) funksiyaga nisbiy minimumi beruvchi nuqta bo`lsa va (1) funksiyadan ikkinchi tartibli uzluksiz hosila mavjud bo`lsa, x0 nuqtada qo`shimcha yana qanday shart bajarilishini topish uchun quyidagi teoremani isbot qilamiz.
2-teorema. Agar (1) funksiya sonlar o`qi R1 da aniqlangan, uzluksiz va ikki marta differensiallanuvchi funksiya bo`lsa, nisbiy minimum beradigan x0 nuqtada uning ikkinchi tartibli hosilasi manfiy bo`lmaydi, ya’ni
(7)
Isboti. deb faraz qilamiz va 1-teoremaga asosan x0 nuqtada (6) shart Bajarilganligi uchun Teylor formulasiga asosan quyidagiga ega bo`lamiz:
yoki
Shunday ni tanlaymizki bo`lganda, bo`lsin. U holda ixtiyoriy yetarli kichik son uchun bo`lganda
nuqtada quyidagi tengsizliklar bajariladi: