Arxitektura

misоl.

I  _ cos 3xdx

integrаlni hisoblang.

Echish.

t  3x

belgilаsh kiritsak,
dt  3dx,

dx  ¹ dt. (2) formulaga ko’ra

3

I  _ cos 3xdx  ¹ _ cos tdt  ¹ sin t  C . Eski o’zgaruvchiga qaytsak, I  ¹ sin 3x  C.

3 3 3

4. 
   Bo’laklab intеgrallash
   

Bu usul ikki funktsiya ko’paytmasining differentsiali formulasiga asoslanadi.

3-teorema.

u(x) va

v(x)

funksiyalar qandaydir X оrаliqda aniqlangan va

differentsiallanuvchi bo’lib,

u^(x)v(x)

funksiya bu оrаliqda bоshlаng’ich funksiyaga

ega, y’ani _u(x)v(x)dx

mavjud bo’lsin. U holda, X оrаliqda

u(x)v^(x)

funksiya ham

bоshlаng’ich funksiyaga ega bo’ladi va _u(x)v^(x)dx  u(x)v(x)  _ v(x)u^(x)dx

formula o’rinli bo’ladi.

3. 
   
   

Isboti .[u(x)v(x)]^  u^(x)v(x)  v^(x)u(x) tenglikdan u(x)v^(x)  [u(x)v(x)]^  v(x)u^(x)

[u(x)v(x)]^

va u^xvx

funksiyalar boshlang’ich funksiyaga ega bo’lganligi sababli,

v^(x)u(x) ham boshlang’ich funksiyaga ega bo’ladi va oxirgi tenglikning chap va o’ng tomonini integrallasak (3) formula kelib chiqadi. Bu formulaga aniqmas integralni bo’laklab integrallash formulasi deyiladi.

v^(x)dx  dv,

u^(x)dx  du

ni hisobga olsak (3) formuladan _udv  u.v  _ vdu

4. 
   formula kelib chiqadi.
   

3-misol.

I  _ xe^x dx

integralni hisoblang.

Echish.

I  _ xe^x dx 

u  x, du  dx
 xe^x  _ e^x dx  xe^x  e^x  C

dv  e^x dx, v  e^x

Slaydlar

1. 
   Aniqmas integralning xossalari
   

1^o. Aniqmas integralning hosilasi ( differensiali ) integral ostidagi funksiyaga

( integral ostidagi ifodaga ) teng, y’ani

(_ f (x)dx)^ 

f (x)

(d _ f (x)dx 

f (x)dx) .

2^o. Funktsiya differentsialining aniqmas integrali shu funksiya bilan ixtiyoriy o’zgarmas yig’indisiga teng, ya’ni _ dF (x)  F (x)  C .

3^o. Ozgarmas ko’paytuvchini aniqmas integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni _ kf (x)dx  k _ f (x)dx.

4^o. Chekli sоndаgi funktsiyalar algebraik yig’indisining aniqmas integrali shu funksiyalar aniqmas integrallarining algebraik yig’indisiga teng, ya’ni

_ f₁ (x)  f₂ (x)  f₃ (x)dx  _ f₁ (x)dx  _ f₂ (x)dx  _ f₃ (x)dx .

5^o. Аgаr F(х) funksiya f (х) funksiya uchun bоshlаng’ich funksiya bo’lsа,

ya’ni _ f (x)dx  F (x)  C, bo’lsа, u hоldа _ f (u)du  F (u)  C

bu yerdа u = u (х) - х ning differensiаllаnuvchi funksiyasi.

tenglik to’g’ri bo’lаdi,

Bu хоssа integrаllаsh fоrmulаlаrining invаriаntligi deyilаdi. Mаsаlаn, аgаr

_cos xdx  sin x  C

bo’lsа, u hоldа

_ cos x ²dx ²  sin x ²  C

bo’lаdi.

1. 
   _ x^
   

_x 1

dx  _{  1}  C,

2. 
   Integrallar jadvali
   

( -1), YIII. _ cos xdx  sin x  C,

2. 
   _ ^dx  ln x  C, IX. _ ^dx  tgx  C,
   

x

3. 
   ^dx
   

 arctgx  C,

cos²

24. 
    dx
    

x
 ctgx  C,

^ 1  x ^{2 } sin ² x

IY. _ ^dx

24. 
    
    
    ^x
    

 arcsin x  C,
_a x

XI.

dx



x ²  a ²

 ¹ ln 2a

 C(a  0),

a dx   C

ln a

, (0< a 1), XII. _

 ln x 

• 
  k  C,
  

YI.

e^x dx  e^x  C,

XIII.

^dx  ¹ arctg ^x  C,

^{ } a ²  x ² a a

YII. _sin xdx  cos x  C,

XIY. ^dx  arcsin ^x  C.

a

3. 
   Bo’laklab intеgrallash
   

Bo’laklab integrallash orqali hisoblanadigan integrallarni asosan uch guruhga ajratish mumkin:

a _ P(x)arctgxdx ,

_ P(x)arcctgxdx,

_ P(x) ln xdx , _ P(x) arcsin xdx ,

_ P(x) arccos xdx

, bu erda

P(x) - ko’phad. Bu integrallarni hisoblashda u orqali

keltirilgan funksiyalarni va dv  Pxdx

deb olish lozim;

2. 
   _ P(x)e^kx dx, _ P(x) sin kxdx , _ P(x) cos kxdx .. Bu integrallarni hisoblashda
   

u  P(x) ,

dv  e^kx dx,

dv  sin kxdx, dv  cos kxdx

belgilash maqsadga muvofiq;

2. 
   _ e^kx sin kxdx,
   

_ e^kx cos kxdx

ko’rinishdagi integrallar (3) formulani takroran

qo’llash orqali hisoblanadi.

Ko’rsatilgan uch guruh bo’laklab integrallanadigan barcha integrallarni o’z

ichiga olmaydi. Masalan, I 

xdx




cos ² x
integralni hisoblaylik

xdx

u  x,

du  dx
sin x

^{I } _{ cos2 x} ^ _{dv } dx _,

cos² x

v  tgx

 xtgx  _ tgxdx  xtgx  _{ cos x}dx  xtgx  ln cos x  C

2. Kasr ratsional funksiyalarni intеgrallash

1. Mavzuning pеdagogik-tеxnologik xaritasi

Mavzu	Kasr ratsional funksiyalarni intеgrallash
Maqsad, vazifalar	Талабаларdа ratsional kasr funktsiyalarni ko’phad va sodda kasrlarga yoyish, sodda ratsional kasrlarni integrallash, rekurrent formuladan foydalanish, kasr ratsional funktsiyalarni integrallashni bilish hamda ularni amalda qo’llashda ko’nikma, malaka va shaxsiy fazilatlarni shakllantirishdir Mavzuga oid tarqatma materiallarni talabalar tomonidan yakka va guruh holatida o’zlashtirib olishlarini hamda suhbat- munozara orqali tarqatma materiallardagi matnlar qay tarzda o’zlashtirilganligini nazorat qilish,ularning bilimini baholash.
O’quv jarayonining mazmuni	Ratsional kasr funktsiyalarni ko’phad va sodda kasrlarga yoyish. Sodda ratsional kasrlarni integrallash. Kasr ratsional funksiyalarni integrallash.
O’quv jarayonini amalga oshirish texnologiyasi	Uslub: Og’zaki bayon qilish, “Bumerang” usuli,modulli o’qitish texnologiyasi. Vosita: Tarqatma materiallar: kasr funksiyalarni ko’phad va sodda kasrlarga yoyish, sodda ratsional kasrlarni integrallash, rekurrent formulalar keltirilgan slaydlar. Usul: Tayyor yozma materiallar va formulalar asosida. Nazorat: Og’zaki savol-javoblar,test nazorati, o’z-o’zini nazorat, rekurrent formulani amalda qo’llay bilishi . Baholash: Reyting tizimi asosida.
Kutiladigan natijalar	Professor-o’qituvchi: Mavzuni kam vaqt ichida talabalar tomonidan o’zlashtirilishiga erishadi. Talabalar faolligini oshiradi. Talabalarda darsga nisbatan qiziqish uyg’otadi. Bir vaqtning o’zida ko’pchilik talabalarni baholaydi. O’z maqsadiga erishadi. Talaba: Yangi bilimlarni egallaydi. Yakka holda va guruh bo’lib ishlashni o’rganadi. Nutq rivojlanadi va eslab qolish qobiliyati kuchayadi. O,z–o’zini nazorat qilishni o’rganadi. Kam vaqt ichida ko’p ma’lumotga ega bo’ladi.
Kelgusi rejalar (tahlil. o’zgarishlar)	Professor-o’qituvchi: Yangi pedagogik texnologiyalarni o’zlashtirish va dars jarayoniga tadbiq etish, takomillashtirish. O’z ustida ishlash. Pedagogik mahoratini oshirish. Talaba: Matn ustida mustaqil ishlashni o’rganish. O’z fikrini ravon bayon qila olish. Mavzuga oid qo’shimcha materiallarni topish va o’rganish. O’z fikri va guruh fikrini tahlil qilib bir echimga kelish malakasini hosil qilish.

2. 
   Tеst topshiriqlari.
   

1. 
   To’g’ri boshlang’ich funksiyani toping
   


А) ^A dx  Aln x  a  c x  a


В) ^A dx  ln x  a  c x  a

С) _

A


x  a

dx  Aln  c

Д) _

A


x  a

dx 

¹ ln x  a  c A

2. 
   To’g’ri boshlang’ich funksiyani toping
   


А) ^Ak

( x  a)^k

A
dx 

^Ak  c

(1  k )(x  a)^{k 1}

• 
  c
  

(1  k )

В) ^Ak



( x  a)^k
dx 
A

¹  c


k
A (1  k )(x  a)^{k 1}

A (x  a)^{k 1}

k
С) _

k

( x  a)

dx 

A_k (x  a)
k 1

Д) _

k

(x  a)

dx  ^k  c

^k (1  k )

5

5
3 To’g’ri boshlang’ich funksiyani toping

.А)

^ (x  2)³
dx 

¹ (x  2)⁴  c

20

^{В) } (x  2)³

dx  ^{ 5} (x  2)^2  c


5
2

5
^{С) } (x  2)³

dx 

¹ (x  2)³  c

10

^{Д) } (x  2)³

dx  ⁵ (x  2)⁴  c

2

4. 
   To’g’ri boshlang’ich funksiyani toping ( integrallarda maxrajning diskriminanti manfiy )
   


_А) Bx  C x²  px  q

dx 

arctg  c


_В) Bx  C x²  px  q

_С) Bx  C

dx  ^B ln x²  px  qx  c

2

dx  ^B ln x²  px  qx 


arctg  c

^ x²  px  q 2

Д) To’g’ri javob yo’q

4. 
   To’g’ri boshlang’ich funksiyani toping
   


_А) 2x  5

x²  6x  13

dx  ¹ ln x²  6x  13  c

2


_В) 2x  5

x²  6x  13

dx  arctg(x²  6x  13)  c


_С) 2x  5

x²  6x  13

dx  ln x²  6x  13 

arctg ^{2x  6}  c

4

Д) To’g’ri javob yo’q

4. 
   To’g’ri boshlang’ich funksiyani toping
   


_А) x  1

x²  x  1
dx  ln x²  1  c

_В) x  1



x²  x  1

dx  ¹ ln x²  x  1  c

2


_С) x  1

x²  x  1

dx  ¹ ln x²  x  1 

2
3arctg

• 
  c Д) To’g’ri javob yo’q
  

4. 
   To’g’ri boshlang’ich funksiyani toping
   

1 2 ^ 2x  1 2

2x  1^


^{А) } (x²  x  1)^{2 dx } 3 ^ 2(x²  x  1) ^

arctg

3

^ c



В) ¹

dx  ²

2x  1 _c

^ (x²  x  1)²


1
^{С) } (x²  x  1)²

3 2(x²  x  1)

dx  ⁴ arctg c

3

1 ^ 4x  1 ₂ ^


^{Д) } (x²  x  1)^{2 dx  } (x²  x  1) ^{ ln x}

 x  1 ^ c



3.