Arnawli bilimlendiriw ministirligi

Tosinnanli shamanin’ bo’listiriliwi ham bo’listiriliw funkciyasi. 
Bo’listiriliw funkciyasinin’ qa’siyetleri 
Tosinnanli shamanin’ aniqlamasina kore, qa’legen B Borel toplami (B
∈
ℜ) ushin
Demek, ξ tosinnanli shama (R, ℜ) olshewli ken’islikde 
itimalliqlarin aniqlaydi ham ( P
ξ
,R, B) itiamlliq ken’isligin payda qiladi.
1-Aniqlama.
itimalliqlar ξ tosinnanli shamanin’ bo’listiriliwi dep ataladi. Eger B toplam
sipatinda (− ∞ , x ) araliqdi alsaq, bunday jag’dayda biz haqiyqiy kosherde
aniqlangan
funkciyaga iye bolamiz.
2-Aniqlama. F
ξ
(x) funkciya ξ tosinnanlili shamanin’ bo’listiriliw funkciyasi
delinedi. Eger tusinbewshilikler keltirip shig’armasa, F
ξ
(x) di F(x) korinisinde
jazamiz.
Joqaridag’ilardan koriw mumkin bolip, tosinnanlili shamanin’ bo’listiriliw
funkciyasi onin’ bolistiriliwin aniqlaydi ham usi sebepli bolistiriliw ornina kop
jag’daylarda bo’listiriw funkciyasi qollaniladi.
1-misal. [ a,b ] kesindige ( [a,b ]
⊂ 
R ) tosinnanlili toshka alinganda, yag’niy
[a, b] ga tiyisli qandayda bir toplamga toshkanin’ tusiw itimallig’i bul toplamnin’
Lebeg o’lshemine proportsional bolsin. Bu misal ushin Ω = [a,b] ham ℑ bolsa
[a,b ] dagi Borel toplaminan ibarat, σ –algebasi bolip, ξ tosinnanli shamani
to’mendegishe aniqlaymiz:
yag’niy ξ tosinnanlili shama taslangan toshkanin’ [ a,b] kesindidegi ma’nisine ten’
bolip, olshemli funkciya boladi. Eger x < a bolsa,

---

13 
boladi. Endi [ x
∈a,b
] bolsin.
Bunday jag’dayda (ξ < x) qubilis juz bergende toshka [a,x ) intervalga tusedi.
Bul intervalga tusiw itimalligi onin’ uzinligina proportsional, yag’niy
Eger х >b bolsa, F (x)= 1boladi. Demek, F(x) bolistiriliw funkciyasi to’mendegi
korinisge iye boladi:
F(x) =
{
0 , 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥 ≤ a
𝑥−𝑎
𝑏−𝑎
, 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑎
1 , 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥 > b
< x Joqaridagi bo’listiriliw funkciyasi menen aniqlangan ξ tosinnanlili shama [a,b ]
araliqda tegis bo’listirilgen dep ataladi.
Endi bolistiriliw funkciyasi qa’siyetlrin keltiremiz. ξ tosinnanlili shamanin’
bo’listiriliw funkciyasi F (x) bolsin. Bunday jag’dayda F(x) to’mendegi
qa’sietlerge iye:
F1. eger x
1
≤ x
2
bolsa, bunday jag’dayda F( x
1
) ≤ F(x
2
) (monotonliq qa’siyeti); 
F2.
(shegaralanganliq qa’siyeti);
F3.
(shepden uzliksizlik qa’siyeti).
Da’lilleniwi. x
1
≤ x
2
ushin 
bolganligi sebepli F1 qa’siyetinin’ itimallig’I 3) qa’sietinen kelip shig’adi.
F2 qa’siyetin da’lillew ushin tomendegi {x
n
} ham {y
n
} sanli izbe-izliklerdi

---

14 
kiritemiz: { x
n
} kemeyiwshi izbe-izik bolip, x
n
→−∞ ham { y
n
} osiwshi
izbe-izlik 
bolip, 
y
n
→+∞ 
bolsin.
kopliklerdi kiritemiz. x
n
↓−∞ ekenlig’inen A
n
kopliller izbe-izligi monoton
kemeyiwshi ham ∩A
n
=
∅
boladi. Itimalliqtin’ uzliksizlik aksiomasina tiykarlanip
n→∞ da P
n
(A) → 0. Bunday jag’dayda
Bunnan F(x) funkciya monotonliginan
ekenligi kelip shig’adi. {y
n
} izbe-izlik n→∞ da +∞ ge monoton jaqinlasiwshi
bolganlig’i ushin B
n
koplikler izbe-izligi de osiwshi boli, UB
n
=Ω boladi.
Itimalliqtin’ qa’siyetine tiykarlanip n→∞ da P( B
n
)→ 1 boladi. Bunnan 
qatnaslar kelip shig’adi.
F3 qa’siyetin da’lillew ushin
qubilislardi kiritemiz. {x
n
} izbe - izlik osiwshi bolip, U A
n
=A boladi.
Bunnan
ten’lik kelip shig’adi. Soni aytip otiw kerek bolip, bo’listiriliw funkciyasin
dep alsaq, bunday jag’dayda ol on’nan uzliksizlik qa’siyetine iye bolar edi. Biraq,
joqaridag’iday tan’langan F(x )on’nan uzliksiz bola almaydi, sebebi uzliksizlik
aksiomasina kore

---

15 
Bul bolsa, oz nawbetinde, F(x ) din’ uzliksiz boliwi ushin qa’legen x lar ushin
orinlaniwi zarur ham jeterli ekenlig’in korsetedi. Keltirilgen qatnaslardan
tomendeg'i kelip shig'adi : 
Тeorema
. Eger F(x) funksiya F1, F2 ham F3 qa'siyetlerge iye bolsa, bunday
jag’dayda sonday ( Ω, ℑ,P) itimalliqlar ken’islig’i ham onda aniqlangan ξ
tosinnanlili shama bar bolip 
boladi. 
Endi kop ushraytugin bo’listiriliwlerge misallar keltiremiz.
3-misal. ξ tosinnanlili shama “birlik” bolistiriliwge iye bolip, eger qandayda
haqiyqiy san ushin
bolsa. Bul bo’listiriliw ushin bolistiriw funkciyasi to’mendegishe boladi:
F(x) =
{
0, 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥 ≤ a
1, 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥 > a
4-misal. Eger ξ tosinnanlili shama 0,1,2,... ma’nislerdi
itimalliqlar menen qabil qilsa, oni Puasson nizami boyinsha bolistirilgen 
tosinnanlili shama delinedi.Onin’ bo’listiriw funkciyasi to’mendegishe aniqlanadi: 
5-misal. Eger ξ tosinnanlili shamanin’ bo’listiriw funkciyasi
korinisinde bolsa, bunday tosinnanlili shama (a , σ
2
) parametrler menne normal
bolistirilgen tosinnanlili shama delinedi. Bul jerde σ >0 , −∞< a <∞ ozgermes
sanlar. Eger σ=1, a=0 bolsa, bunday bo’listirilgen tosinnanlili shama standart

---

16 
normal bo’listiriliwge iye delinedi ham onin’ bo’listiriw funkciyasi
boladi. 
Bul
ten’likti teksirip koriw qiyin emws. Bunnan a ham σ lar saykes turde
bolistiriwdin’ “jiljiwi” ham “mashtabi” parametrleri manilerine iye boliwi kelip
shig’adi.
6-misal. 
Eger 
ξ 
tosinnanlili 
shama 
1,2,... 
ma’nislerdi 
itimalliqlar menen qabil qilsa, oni geometrik nizam boyinsha bo’listirilgen
tosinnanlili 
shama 
delinedi. 
Onin’ 
bo’listiriw 
funkciyasi