Arnawli bilimlendiriw ministirligi

Tosinnanli shamalar
.
Aniqlama. Tosinnanli shama dep, elementar qubilislar ken’islig’i Ω ni haqiqiy 
sanlar toplami R ge sawlelendiriwshi ξ = ξ(ω) o’lshemli funkciyaga aytiladi, 
yag’niy usi funkciya ushin qa’legen B Borel toplaminin’ ξ
-1 
(B) = { ω : ξ (ω) 
∈ B
}
proobrazi ℑ , σ – algebranin’ elementi boladi.
Bunday jag’dayda ξ funkciya (Ω, ℑ) di (R,ℜ) ge o’lshemli sawlelendiriwshi 
delinedi:
Bul jerde ℜ arqali tuwri siziqdagi Borel toplamlari σ - algebrasi belgilengen. 
Tosinnanli shamalarga misallar keltiremiz.
1) Тiyindi taslaganda Ω elementar qubilislar ken’islig’i eki elementten ibarat:
ω
1
= (gerb) ham ω
2
= (tsifr) ξ = ξ(ω) tosinnanli shamasi to’mendegishe aniqlaw 
mumkin. ξ (ω
1
) =1 eger ω
1
elementar qubilisi juz berse ham ξ(ω
2
) = 0, eger ω
2
elementar qubilis juz berse. Haqiyqattan, ξ(ω) o’lshemli funkciya boladi.
ℑ σ - algebrasi 4 elementden ibarat boladi, yag’niy ℑ ={ Ω, 
∅, 
ω
1,
ω
2,
} ham 
Eger 0,1 
∉ B bolsa, 
ξ
-1
= 
∅ boladi.
Eger 0 ∉ B ham 1 ∈ B bolsa, 
ξ
-1
= ω
1
boladi.
Eger 0 
∈ B ham 1∉ B
bolsa, ξ
-1
= ω
2
boladi.
Eger 0,1 
∈ B bolsa, 
ξ
-1
(B) = Ω boladi.
Demek, 4 jag’dayda da ξ
-1
(B) 
∈ 
ℑ
2) Oyin kubigi bir marte taslanganda tusetugin ochkolar sani tosinnanli shama 
boladi. Bul shama 1, 2, 3, 4, 5, 6 manislerdi qabil qiladi.
3) Тiyindi birinshi marte gerb ta’repi menen tuskenshe tiyinnin’ taslawlar sani
(1, 2, 3, ...) barliq natural sanlar toplaminnan ma’nisler qabil qiliwshi tosinnanli 
shama boladi.
4) ξ = ξ(ω) – koordinatalar basinnan [0,1 ] * [0,1] = { (x,y):0 ≤x, y≤1} 

---

5 
kvadrat ishine taslangan toshkaga shekem bolgan t araliqta da tosinnanli shama 
boladi. Bunday jag’dayda
korinisidegi toplamlar o’lshemli boladi.
5) Berilgen gruppadagi sabaqqa kelgen oqiwshilar sani nolden gruppadagi uliwma 
sanina ten’ bolganga shekem putin ma’nisler qabil qiliwshi tosinnanli shama.
6) n dana baylanisli bolmagan sinawda A qubilistin’ juz beriwlr sani tosinnanli
shama boladi. Bu tosinnanli shama n dana sinaw natiyjesinde 0,1,2,...,n
manislerden birin qabil qiliw mumkin.
7) Elektron lampanin’ islew waqti da tosinnanli shama boladi. Joqarida keltirilgen
misallarda tosinnanli shamalar shekli, sanawli yamasa sheksiz manislerdi qabil
qiliw mumkin edi. Eger tosinnanli shama qabil qilatugin ma’nislerdi shekli
yamasa sanawli izbe-izlik korinisinde jaziw mumkin bolsa, bunday tosinnanli
shamaga diskret tosinnanli shama delinedi. Qandayda bir shekli yamasa sheksiz
sanli araliqdagi barliq manislerdi qabil qiliwi mumkin bolgan tosinnanli shama
uzliksiz tosinnanli shama delinedi. 
X 

tosinnanlili shama, 

(x) 

aniqlaniw oblasti. X tosinnanlili shamanin’
mumkin 
bolgan 
ma’nisler 
kopliginnen 
ibarat 
funkсiya 
bolsin.
X tosinnanli shamanin’ funkciyasi dep har bir sinawda y 

(x) ma’nisler qabil
qilatug’in Y 

(X ) funkciyaga aytiladi, bul jerde x 

usi sinawdagi X tosinnanlili
shama qabil qilatugin ma’nis.
X diskret tosinnanlili shama berilgen bolsin: 

---

6 
X tosinnanlili shamanin’ mumkin bolgan ma’nisler oblastinda y 

(x) funkciya
aniqlangan ham monoton bolsin. Bunday jag’dayda Y 

(X ) mumkin bolgan
ma’nisleri

1
(x), 

2
(x), …., 

n
(x) bolgan taza tosinnanlili shama boladi. Bunda
Y tosinnanlili shamanin’ y
i

(x) ma’nisin qabil qiliw itimallig’i X tosinnanlili
shamanin’ x
i
ma’nisin qabil qiliw itimallig’ina ten’ boladi, yag’niy 
Demek, Y 

(X ) tosinnanlili shamanin’
bo’listiriw nizamina iye boladi.

(x) funkciya X tosinnanlili shamanin’ mumkin bolgan ma’nisler oblastinda
monoton bolmasa, Y 

(X ) shama X din’ turli ma’nislerinde bir qiyli ma’nisler
qabil qiliwi mumkin. Bunday jag’dayda aldin joqarida keltirilgen korinisdegi keste
duziledi, keyin X din’ bir qiyli ma’nisleri bag’analari saykes turde itimalliqlari
qosilgan 
jag’dayda 
birlestiriledi 
ham 
taza 
keste 
duziledi. 
X uzliksiz tosinnanlili shama bolip, onin’ bolistiriw tigizlig’i f (x) bolsin.
Eger y 


(x) funkciya monoton, differenciyallaniwshi bolip, onin’ keri funkciyasi
x 

( y) bolsa, bunday jag’dayda Y tosinnanlili shamanin’ bo’listitiw tig’izligi
ten’likden tabiladi. 
Eger y 


(x) funkciya monoton bolmasa, bunday jag’dayda X tosinnanlili
shamanin’ mumkin bolgan ma’nisler araligi

(x) funksiya monoton bolatug’in
araliqlarga ajratiladi. Har bir monotonliq aralig‘i ushin g
k
( y) bolistiriw tig’izligi

---

7 
aniqlanadi ham olardin’ qosindisi tabiladi : 
Misal. X tosinnanlili shamanin’ bo’listiriw tig’izligi berilgen: 
Y 

sin X tosinnanlili shamanin’ bolistirilgen tig’izligin tain’.
y 

sin x funkciya
araliqta monoton. 
Bunday jag’dayda x 

( y) 

arcsin y keri funkciya bar bolip, bul jerde
y

(

1;1). Bunnan
Bo’listiriw tig’izligin tabamiz:
Itimalliqlar teoriyasinin’ bir qatar a’meliy ma’selelerinde x tosinnanli shama 
menen baylanisqan
η = φ(x)
tosinnanli shamani u’yreniwge tuwra keledi.
Meyli x diskret tosinnanli shama bolp, bo’listiriw qatari menen berilgen bolsin: 

---

8 
Tosinnanli η shamasinin’ mu’mkin bolg’an ma’nislerin ha’m bul ma’nislerdin’ 
itimalliqlarin jazayiq: 
Bul jag’dayda η = φ(x) tosinnanli shamanin’ matematikaliq ku’tiliwi ha’m 
dispersiyasi to’mendegi formulalar menen aniqlanadi 
Eger x u’zliksiz tosinnanli shama bolsa, onda h=j(x) tosinnanli shamanin’ 
matematikaliq ku’tiliwi ha’m dispersiyasi to’mendegi formulalar menen aniqlanadi: 
bunda 
f(x
) – tosinnanli ξ shamasinin’ bo’listiriw tig’izlig’i.
A’meliyattin’ ko’pshilik ma’selelerinde, a’sirese matematikaliq statistikada, 
tosinnanli argumenttin’ funktsiyasinin’ matematikaliq ku’tiliwi ha’m dispersiyasin 
tabiwdin’ o’zi ko’binese jetkilikli bolmaydi, onin’ bo’listiriw nizamin da tabiw 
za’ru’r boladi. A’meliyat ushin u’zliksiz tosinnanli shamalar u’lken a’hmiyetke iye 
bolg’anlaqtan, ma’seleni usi jag’day ushin sheshemiz.
Solay etip, bul jerde minaday ma’sele qoyiladi: bo’listiriw tig’izlig’i belgili ha’m 
ol 
f(x) 
qa ten’ bolg’an ξ tosinnanli shama berilgen. Basqa ξ tosinnanli shama menen
η = φ(x) 

---

9 
funktsiyaliq baylanis arqali baylanisqan (j funktsiya u’zliksiz ha’m 
differentsiallaniwshi dep uyg’ariladi).
Tosinnanli hshamanin’ bo’listiriw tig’izlig’i