Arifmetik funksiyalar tushunchasi butun koordinatali nuqtalari xaqida

Zigel teoremasi.
Zigel tomonidan isbotlangan quyidagi teorema yuqoridagi (3) va (4) baholarga nisbatan funksiyaning haqiqiy nollarining aniqroq chegarasini beradi.
2-teorema. Ixtiyoriy soni uchun shunday soni mavjudki, agar haqiqiy xarakter va esa funksiyaning haqiqiy noli bo’lsa, u holda

bajariladi.
Bu teoremani isbotlash uchun avvalo quyidagi lemmani isbotlaymiz.
2-lemma. Agar va lar mos ravishda va modullari boyicha har xil haqiqiy primitiv xarakterlar bo‘lib,

bo’lsa, u holda bo‘lganda

baho o‘rinli. Bunda

Isboti. Avvalo bosh xarakterdan farqli bo‘lgan moduli boyicha xarakter bo’ladi. Shuning uchun ham funksiya kompleks tekislikdagi nuqtadan boshqa barcha nuqtalarda regulyar funksiya bo’ladi. nuqtada esauning qutb nuqtasi bo‘lib, u nuqtadagi chegirmasi ga teng. bo‘lganda funksiyani Dirixle qatoriga yoyamiz, u holda

hosil bo’ladi. bo‘lganda

va bo’lgani uchun bo’lganda bo’lishini ko‘rish qiyin emas. Haqiqatan ham, agar bo’lsa, u holda

agarda bo’lsa, u holda

agarda bo’lsa, u holda

agarda bo’lsa, u holda

hosil bo’ladi. Qolgan barcha hollar shu qarab chiqilgan hollarga o‘xshash bo’ladi. Barchа ko’paytirib uchun Dirixle qatoriga ega bo’lamiz bu qator uchun bo‘lganda bo’lishi ko‘rinib turibti. Shunday qilib,

bo‘lgani uchun bo‘lganda

deb yoza olamiz. Ushbu

tenglik bilan aniqlanuvchi funksiya kompleks tekislikdagi barcha nuqtalarda regulyar funksiya bo’ladi. Shuning uchun ham

doirada

deb yozish mumkin. ni (5) doirada baholaymiz. Bu doiraning chegarasi da [5]ning VIII-bobidagi 9-lemmadan larning bajarilishi kelib chiqadi. Shuning uchun ham da

baho o‘rinli bo’ladi. Maksimum prinsipiga asosan oxirgi baho (5)- doiraning ichida ham o‘rinli bo’ladi. (6) dagi larni darajali qatorning koeffitsiyentlari haqidagi Koshi teoremasidan foydalanib baholab

ni hosil qilamiz. Bularga asosan va bo‘lganda quyidagiga ega bo’lamiz:



Endi butun sonini quyidagi munosabatdan aniqlaymiz:

U holda

baho hosil bo’ladi. bo‘lgani uchun

Shunday qilib lemma isbot bo‘ldi.