Arifmetik funksiyalar tushunchasi butun koordinatali nuqtalari xaqida

2-ta’rif. ( – butun son) moduli boyicha xarakter deb aniqlanish sohasi butun sonlardan iborat quyidagi tengliklarning biri bilan aniqlanuvchi funksiyaga aytiladi:


Bunda , − butun son;


bu yerda lar butun sonlar.
2-ta’rifdan funksiya parametrlarga bog’liq va lar boyicha davriy bo’lib davri mos ravishda 2 va ga teng, ya’ni umuman aytganda moduli boyicha ta xarakter mavjud va bu xarakterlarni ni 0,1 ga ni esa larga teng deb olib hosil qilish mumkin.
Berilgan sonning indeksi yoki indekslar sistemasi davriy bo’lib davri funksiyaning moduliga teng, additiv, ya’ni ko’paytmaning indeksi ko’paytuvchilar indekslari yig‘indisiga teng bo‘lganligi uchun xarakterlarning quyidagi xossalarga ega ekanligi kelib chiqadi:
Xossalari
1^°. k moduli boyicha xarakter davriy bo‘lib, davri k ga teng, ya’ni
2^°. multiplikativ funksiya, ya’ni
Shuningdek, tushunarliki .
1-Lemma. ( – tub son, – butun son) moduli boyicha ta har xil xarakter mavjud.
Isboti. Ta’riflarga ko’ra ( – tub son, – butun son) moduli boyicha ta xarakter mavjud. lemmani isbotlash uchun aniqlangan xarakterlar orasida aynan tenglari yo‘q ekanligini ko‘rsatish yetarli. Avvalo ixtiyoriy butun son uchun

tenglik o‘rinli. Haqiqatan xam, agar bo’lsa, U holda (1) ning chap tomonidan


bo’lsa, U holda va

Agar n soni k moduli boyicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini qabul qilib o‘zgarsa, U holda yoki lar moduli yoki 2 vaa modullari boyicha ( hollar trivial) chegirmalarning to‘la sistemasini qaBul qiladi.
Endi, agar вa lar ( ) moduli boyicha har xil xarakterlar bo’lsalar, ya’ni bo’lsa, u holda ularning aynan teng ekanligidan (1) ga asosan

ni hosil qilamiz. bo‘lgani uchun , ya’ni oxirgi tenglik bajarilishi mumkin emas. Bu qarama-qarshilik ta xarakterlar orasida o‘zaro aynan tenglari yo‘q ekanligini ko‘rsatadi. bo‘lgan hol ham shunga o‘xshash isbotlanadi.
Bosh xarakter.3-ta’rif. ning shartni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida n ning shartni qanoatlantiruvchi qiymatlarida esa bo‘lgan xarakterga k moduli boyicha bosh xarakter deyiladi va ko‘rinishida belgilanadi.
Yuqoridagi 1- 3 ta’riflardan da bo’lsa da va , p moduli boyicha bo’lishi kelib chiqadi.
Endi Dirixle xarakterlarining asosiy xossalaridan biri ortogonallik xossasini keltiramiz.
2-Lemma. Ushbu


tengliklar o‘rinli. Bu yerda yig‘indi k moduli boyicha barcha ta xarakterlar boyicha olinadi.
Bu lemmaning isboti (1)- tenglik va 1-3 ta’riflardan kelib chiqadi ([6] ga qarang).