Arifmetik funksiyalar tushunchasi butun koordinatali nuqtalari xaqida

Ixtiyoriy modul boyicha Dirixle xarakterlari. Faraz qilaylik berilgan 𝑘 sonining kanonik yoyilmasi bo’lsin.
5-ta’rif. moduli boyicha xarakter deb
tenglik bilan aniqlanuvchi funksiyaga aytiladi.
6-ta’rif. Agar (4) da barcha lar uchun
=
bo’lsa, ga k moduli boyicha bosh xarakter deyiladi.
7-ta’rif. Agar (4) da barcha lar uchun lar primitiv bo’lsa, u holda (4)-tenglik bilan aniqlanuvchi xarakterga primitiv xarakter aks holda hosilaviy xarakter deyiladi.
7-ta’rifdan moduli boyicha Har bir xarakterga ning qiymatlarida unga aynan teng bo‘lgan primitiv xarakter mos keladi. Bunda soni k ning bo‘luvchisi. Bunday holda xarakterni primitiv xarakter bilan indutsirlangan xarakter deb yuritiladi. ni esa ga mos keluvchi primitiv xarakter deyiladi.
Primitiv xarakter xossalari
1 va 2-punktlarda moduli boyicha xarakterlar uchun isbotlangan tasdiqlar moduli ixtiyoriy natural son bo‘lgan xarakterlar uchun ham o‘rinli bo’lishi yuqorida keltirilgan ta’riflardan bevosita kelib chiqadi. Endi xarakterning asosiy xossalarini bayon qilishga o‘tamiz.
1⁰. xarakter davriy funksiya bo’libdavri ga teng va aynan nolga teng emas, ya’ni n ning qiymatlarida ning qiymatlarida esa bo’ladi.
2⁰. Ixtiyoriy va natural sonlari uchun bajariladi, ya’ni xarakter to‘la multiplikativ funksiyadir.
3⁰. moduli boyicha ta har xil xarakterlar mavjud.
4⁰. Quyidagi tenglikla o‘rinli:

bu yerda yig‘indi k moduli boyicha barcha ta xarakterlar boyicha olinadi;

Bu xossaga xarakterlarning ortogonallik xossasi deyiladi.
5⁰. primitiv xarakter bo’lsa, U holda xarakter
bu yerda

Bu хоssаlar 5-7-ta’riflardan foydalanib 1 va 2- punktlarda isbotlangan xossalarga o‘xshash isbotlanadi. Shuning uchun ham biz 5-xossani isbotlash bilan chegaralanamiz. bo’lsin.
U holda

deb yoza olamiz. Ma’lumki, agar soni moduli boyicha, soni moduli boyicha chegirmalarning to‘la sistemasini qabul qilsa, + soni moduli boyicha chegirmalarning to‘la sitsemasini qabul qiladi. Shuning uchun ham

Bundan tashqari Bulardan va 3-lemmadan (5) –tenglik kelib chiqadi.

k moduli boyicha xarakterni 1 va 2 –xossalar yordamida aniqlash ham mumkin.
4-Lemma. Agar Y(n) argumentli butun sonlar n dan iborat davriy funksiya bo’libdavri teng, aynan nolga teng bo‘lmagan, multiplikativ, ya’ni bo’lsa va n ning qiymatlarida bajarilsa, u holda biror m uchun Y(n)= bo’ladi.

6.Indeksning tushunchasi va uning asosiy xossalari.misollar.

Boshlang’ich ildizlarning asosiy xossalari sonlar nazariyasiga logarifm tushunchasiga o‘xshash yangi tushuncha indekslar tushunchasini kiritish imkoniyatini beradi. Faraz qilaylik g soni p tub moduli boyicha boshlag‘ich ildiz bo‘lsin. U holda

sonlari р moduli boyicha chegirmalarning to‘la sistemasini tashkil etadi. Agar а, (а,р)=1 bo’lsa, u modp boyicha (1) sistemadagi birorta son bilan taqqoslanuvchi bo’lishi kerak, ya’ni

Agar (а,р)=1 bo’lsa,
(3)
(3) shartni qanoatlantiruvchi  soniga а soniningр moduli boyicha g asosga ko’ra indeksi deyiladi va ind_ga ko‘rinishda yoziladi. Demak (3) dan

Ta’rifdan а bilan modp boyicha taqqoslanuvchi barcha sonlar (4) da barta indeksga ega.
0, 1, 2, … , р-2 (5)
Umuman har bir a soni (5) sistemada bitta indeksga ega.
Lekin bir asosdan ikkinchi asosga o‘tilsa indekslar umuman aytganda o‘zgaradi. Masalan: 3 son mod 7 boyicha boshlang’ich ildiz edi. Endi 3 asosga ko’ra 1, 2, 3, 4, 5, 6 sonlarining indekslarini aniqlaylik.

Demak indekslar mos ravishda 0,2,1,4,6,3.
5 ham 7 moduli boyicha boshlang’ich ildiz. Endi 5 asosga ko’ra 1,2,3,4,5,6 sonlarning indekslarini aniqlaylik.

Demak indekslar mos ravishda 0,4,5,2,1,3.
2. Ikkinchi tomondan esaberilgan g asosga ko’ra а soni cheksiz ko’p indekslar  ga ega. (1) va (2) dan bular manfiy bo‘lmagan butun sonlar bo‘lib

shartni qanoatlantirishi kerak. Bu yerda g soni р modul boyicha boshlang’ich ildiz bo‘lganligi sababli, u р-1 ko‘rsatkichga tegishli. U holda ko‘rsatkichga qarashli sonlarning xossalariga asosan yuqoridagi taqqoslama o‘rinli bo’lishi uchun bo’lishi kerak. Demak рmoduli boyicha р bilan o‘zaro tub har bir chegirmalar sinfiga р-1 boyicha chegirmalar sinfidagi manfiy bo‘lmagan to‘plami mos keladi va aksincha:
bo’lsa (4) ga asosan

Shuningdek indekslar quyidagi xossalarga ega:
1) Ko’paytma а,b, …, е ning indeksi р-1 moduli boyicha shu sonlar indekslari yig‘indisi bilan taqqoslanuvchidir, ya’ni
₍₆₎
Isboti. Hakiqatan ham,
bo‘lgani uchun . Bundan (3) va (5) ga ko’ra
.
2) _.
Bu xossa 1) dan deb olsak kelib chiqadi.
Shuningdek