Approksimatsiya, korrektlik, turg`unlik, yaqinlashish va ular o`rtasida bog`lanish

1. To`rda approksimatsiya xatoligi

Biz xozirgacha lokal ayirmali approksimatsiyani qaradik. Odatda to`rda ayirmali approksimatsiya tartibini baholash talab qilinadi.

- to`r funktsiyalarning biror Evklid fazosidagi to`r, - da berilgan to`r funktsiyalarning chiziqli fazosi, - silliq funktsiyalar fazosi bo`lsin. Faraz qilaylik, 1) ixtiyoriy uchun bo`ladigan operator mavjud, 2) va normalar quyidagicha bo`lsin, ya`ni

,

bunda - vektorning normasi.

da berilgan qandaydir operatorni va da berilgan to`r funktsiyani to`r funktsiyaga akslantiruvchi operatorni qaraymiz (ya`ni dan ga ta`sir qiluvchi).

operatorni ayirmali operator bilan approksimatsiyalash xatoligi deb

,

to`r funktsiyaga aytiladi, bunda , , - dagi ixtiyoriy funktsiya (vektor, element).

da intilsa differentsial operatorni ayirmali operator approksimatsiyalaydi deymiz.

, (1)

yoki

bo`lsa tartib bilan differentsial operatorni ayirmali operatori approksimatsiyalaydi deb ataymiz, bunda - dan bog`liq bo`lmagan musbat o`zgarmas son.

opeartorni tanlashga misollar:

1. 
   agar - uzluksiz funktsiya bo`lsa, u holda
   

;

2. 
   ,
   

bunda - integral funktsiya va h.k.

1 eslatma. Agar - vektor bo`lsa, ni uzunlik deb tushunish mumkin. tartib bilan turli bo`yicha approksimatsiya qilish mumkin. U holda (16) o`rniga

, bunda .

lar orasida eng kichik sonni olamiz va uni bilan belgilab (1) baholashni olamiz.

1. 
   Agar notekis to`r, ya`ni bo`lsa, misol uchun yoki o`rta kvadratik qiymat ni olish mumkin, bunda - tugunlar soni.
   

Misol. Notekis to`rda ayirmali approksimatsiya. kesmada berilgan funktsiyalar fazosida ni qaraymiz. Quyidagi to`rni olamiz

.

operator noregulyar shablonda tugunda aniqlangan

,

ayirmali operatorga mos keladi. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz

.

operatorni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin

.

Approksimatsiyaning lokal xatoligi

ga teng.

Demak opeator to`r normada

birinchi tartibli approksimatsiyaga ega.

to`r normada quyidagicha

birinchi tartibli approksimatsiyani ham olishimiz mumkin.

Biroq

normada ikkinchi tartibga ega, ya`ni

, bunda .

Bu tasdiqni isbotlaymiz. ni

ko`rinishda yozamiz.

ni inobatga olib

,

topamiz, bu erda ixtiyoriy normada.

bosh had divergent ko`rinishga ega. SHuning uchun

.

Bundan ekanligi ko`rinib turibdi va haqiqatdan

.

Bundan

,

ya`ni normada approksimatsiya xatoligi ikkinchi tartibga ega.

to`r funktsiyani

to`rda aniqlaymiz.

U argumentning funktsiyasi bo`lib norma bilan fazoning vektori hisoblanadi. to`rda ni baholash uchun odatda

normadan yoki quyidagilarning biridan foydalaniladi

.

- opeatorning ayirmali approksimatsiyasi bo`lsin. operator to`rda berilgan to`r funktsiyalarda aniqlangan. bo`lsin. Agar bo`yicha uzluksiz bo`lsa, barcha lar uchun bo`lishi mumkin. SHunday qilib, to`rda berilgan va approksimatsiya xatoligini aniqlash uchun

.

Bu erda .

ni bo`yicha va bo`yicha tartib bilan approksimatsiya qiladi deymiz, agar etarli silliq funktsiyalar sinfida

yoki

baholash bajarilsa, bunda - va dan bog`liq bo`lmagan musbat o`zgarmas.