|
Ibragimov Husniddin Hikmatovich, Termiz davlat universiteti
Denov filiali o`qituvchisi
Anotatsiya: Pifagor sonlari, tuzuvchi, qoida, to’g’ri burchakli uchburchak, teng yonli uchburchak, katet, gipotenuza.
To’g’ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasi turli matematiklarni qiziqtirib kelagan.Shunisi aniqki, bu teoremanig isboti, Pifagor sonlari, Fibonachchi sonlariб mukammal sonlar va ular bilan bog’liq bo’lgan qiziqarli masalalar borasida bir qancha matematiklar izlanishlar olib borishiga sabab b’lgan.Pifagorning klassik teoremasi quyidagicha bayon qilinadi.
Agar a va b lar to’g’ri burchakli uchburchakning katetlari, c esa uning gipotenuzasi bo’lsa, u holda quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi
a2 + b2 =c2 . (1)
Yani ABC to’g’ri burchakli uchburchak katetlari kvadratlarining yig’indisi unung gipotenuzasining kvadratiga teng.
Agar (1) tenglikda a, b va c sonlar butun sonlar bo’lsa u holda a, b, c uchlikka Pifagor sonlari deb ataladi .
Manbalarda Pifagor sonlarini topishning quyidagi qoidasi berilgan
a=p2-q2, b=2pq, c=p2+q2 , p , q (2)
Bu yerda = bilan butun sonlar to’plami belgilangan.
1-teorema. Agar p, q, va r lar butun sonlar bo’lsa, u holda
a1 =(p2-q2)((2pqr)2-(p2+q2)2)= a((2pqr)2-(p2+q2)2)= a((br)2-c2) (3)
b1 =2pq((2pqr)2-(p2+q2)2(2r-1)) =b((2pqr)2-(p2+q2)2(2r-1)) = b((br)2-c2(2r-1))
c1 =(p2+q2)((p2+q2)2+(r2-2r)(2pq)2)=c((p2+q2)2+(r2-2r)(2pq)2)= c(c2+(r2-2r)b2)
a1 = a((br)2-c2), b1 = b((br)2-c2(2r-1)), c1 = c(c2+(r2-2r)b2) (3)
lar Pifagor sonlari bo’ladi.
Isbot. Murakkab bo’lmagan hisoblashlar ko’rsatadiki
tenglik barcha butun p, q va r sonlari uchun orinli bo’ladi.
Izoh. (2) formula cheksiz ko’p pifagor uchliklarini aniqlab beradi lekin barcha Pifagor uchliklarini (2) formula yordamida aniqlab bo’lmas ekan. Bunga quyidagi 44, 117, 125 Pifagor uchliklarida ishonch hosil qilish mumkin.Bu Pifagor uchligini (3)  va  deb hosil qilish mumkin, ammo hech bir butun p va q larda 44, 117, 125 Pifagor uchligini (2) formula hosil qilib b’lmaydi.
2-teorema. Agar a, b, va c lar Pifagor sonlari bo’lsa, u holda ixtiyoriy m va n butun sonlar uchun quyidagi tenglik o’rinli
a2(b2cm2- c3n2)2 + b2 (2ac2mn)2 =c2 (ab2m2+ ac2n2)2. (3)
Isbot. (3) tenglik chap tomonidagi birinchi qavs kvadratini ochamiz
a2(b4c2 m4-2 b2m2 c4n2+ c6n4).
(3) tenglik o’ng tomonidagi qavs kvadratini ochamiz
c2(a2b4m4+2a2 b2m2 c2n2+a2c4n4).
Hosil bo’lgan bu ifodalarni (3) tenglikka qo’yamiz:
a2b4c2m4-2a2 b2 c4 m2 n2+a2c6n4+ 4a2 b2 c4m2 n2= a2 b4c2m4+2a2 b2 c4m2 n2+a2c6n4.
Chap tomondagi o’xshash -2a2 b2 c4 m2 n2 va 4a2 b2 c4m2 n2 hadlqrni ixchamlashtirib, quyidagigaga kelamiz:
a2b4c2m4+2a2 b2 c4 m2 n2+a2c6n4= a2 b4c2m4+2a2 b2 c4m2 n2+a2c6n4.
Bu ayniyatdan 2- teoremaning isboti keli chiqadi.
1-natija. Agar a, b, va c lar Pifagor sonlari bo’lsa, u holda ixtiyoriy m va n
butun sonlar uchun
a(b2cm2- c3n2) , b(2ac2mn) va c(ab2m2+ ac2n2) lar Pifagor sonlari bo’ladi.
2-natija. Agar a1, b1, va c1 lar Pifagor sonlari bo’lsa, u yolda ixtiyoriy
P, q lar uchun
a2= a1 (b12c1m1 2- c13n12) , b2= b1 (2a1c12m1n1) va c2= c1(a1b12m12+ a1c12n12) lar pifagor sonlari bo’ladi.
(n-1)(c+a)2+(b+(n-1)(c+a))2+( )2=
=( )2
qoida o’rinli bo’ladi.
Isbot: (n-1)(c+a)2+(b+(n-1)(c+a))2+()2=
=()2
(n-1)(c+a)2 +b2+2(n-1)b(c+a)+(n-1)2(c+a)2+n(n-1)(c+a)(-a+(n-1)b)+(-a+(n-1)b)2=
=n(n-1)(c+a)(c+(n-1)b)+(c+(n-1)b)2
(n-1)(c+a)2 +b2+2(n-1)b(c+a)+(n-1)2(c+a)2 -a n(n-1)(c+a)- c n(n-1)(c+a)=
=c2+2cb(n-1)+(n-1)2b2-a2+2ab(n-1)-(n-1)2b2
(n-1)(c+a)2 +b2+2(n-1)b(c+a)+(n-1)2(c+a)2 - n(n-1)(c+a)2=
=c2-a2+2cb(n-1)+2ab(n-1)
(n-1+(n-1)2-n(n-1))(c+a)2+ b2+2(n-1)b(c+a)=c2 - a2+ 2(n-1)b(c+a)
Ixchamlangandan so’ng
a2 + b2 =c2 Teorema isbotlandi
n ning turli qiymatlari uchun (mukammal kvadratlar haqidagi) yuqoridagi teoremadan cheksiz ko’p formulalarni olishimiz mumkin.
n=1 uchun, a2+b2=c2 Pifagor teoremasi.
n=2 uchun, (c+a)2+(c+b)2+(a+b+c)2=(2c+a+b)2
n=3 uchun, (c+a)2+(c+a)2+(b+2a+2c)2+(3c+2a+2b)2=(4c+3a+2b)2
kabi cheksiz ko’p formulalarga ega bo’lamiz, keling mavzuni yo’ritish osonroq b’lishini inobatga olib, ma’lum bir qismini jadvalga ifodalab ko’ramiz:
(1-jadval)
n
|
(n-1)(c+a)2+(b+(n-1)(c+a))2+()2=
=()2
|
1
|
a2+b2=c2
|
2
|
(c+a)2+(b+a+ c)2+(c+b)2 =(2c+a+b)2
|
3
|
(c+a)2+(c+a)2+(b+2a+2c)2+(3c+2a+2b)2=(4c+3a+2b)2
|
4
|
(c+a)2+(c+a)2+(c+a)2+(b+3a+3c)2+(6c+5a+3b)2=(7c+6a+3b)2
|
5
|
(c+a)2 +(c+a)2 +(c+a)2 +(c+a)2+(b+4a+4c)2+(10c+9a+4b)2=(11c+10a+4b)2
|
6
|
(c+a)2 +(c+a)2 +(c+a)2 +(c+a)2 +(c+a)2+(b+5a+5c)2+(15c+14a+5b)2=(16c+15a+5b)2
|
7
|
(c+a)2 +(c+a)2 +(c+a)2 +(c+a)2 +(c+a)2 +(c+a)2+(b+6a+6c)2+(21c+20a+6b)2=
=(22c+21a+6b)2
|
8
|
(c+a)2 +(c+a)2 +(c+a)2 +(c+a)2 +(c+a)2 +(c+a)2 +(c+a)2+(b+7a+7c)2+(28c+27a+7b)2=
=(29c+28a+7b)2
|
…
|
……………………………………………………………………………….
|
Do'stlaringiz bilan baham: |
