Aniqmas integrallarni hisoblash

Aniqmas integrallarni hisoblash

REJA:

I.KIRISH
1. Masalaning qo`yilishi.
2. Hisoblash xatosi va yaqinlashish.
3. Jadval ko`rinishida berilgan funksiyalarni integrallash.
II.XULOSA
III.ADABIYOTLAR
`


1. Agar f(x) funksiya [х₀, x] oraliqda uzluksiz bo`lsa, u holda boshlang`ich funksiyani quyidagicha tasvirlash mumkin:
(12.1)
Demak boshlang`ich funksiyani topish integralning qiymatlarini topish bilan teng kuchlidir. Volterra integral tenglamasi

da ushbu
(12.2)
integral bilan ish ko`rishga to`g`ri keladi. Biz faqat boshlang`ich funksiyani hisoblash bilan shug`ullanamiz. Integralning yuqori chegarasi o`zgaruvchi bo`lgani va y(x) ning ko`p nuqtalardagi qiymatlarini topishga ehtiyoj tug`ilishi tufayli aniqmas integrallarni hisoblash masalasi o`ziga xos bo`lib, ular uchun maxsus usullar yaratishga to`g`ri keladi.
Faraz qilaylik, (12.1) integralning qiymatini argumentning х= х<sub>0</sub>, х,, х<sub>2</sub>, ... qiymatlari uchun hisoblash talab qilinsin. Aytaylik, х= х<sub>0</sub>, х,, х<sub>2</sub>, ... topilgan bo`lib, у_п+1 ni topish kerak bo`lsin. Buning uchun у(х) ning avval topilgan mavjud qiymatlaridan foydalanish mumkin. Biz avval f(x) formula yordamida (ya`ni uning istalgan qiymatini topish mumkin bo`lgan) aniqlangan holni qaraymiz. Paragraf oxirida esa f(x) jadval bilan berilgan holni ko`rib o`tamiz. Ko`pincha f(x) ning qiymatini kerakli x nuqtalarda hisoblab, у_п+1 ni istalgan aniqlikda topish mumkin bo`ladi. Bu yerda y(x) ning ko`p qiymatlarini topish lozim bo`lgani uchun f ning har bir qiymatidan y(x) ning bir necha qiymatlarini topishda foydalanish mumkin. Buni quyidagi misolda ko`rish mumkin: у_п+1 ni hisoblashda
(12.3)
tenglikdan foydalanish mumkin. O`ng tomondagi integralni hisoblashdan aniq integral uchun qurilgan formulalarning birortasidan foydalanish mumkin. Lekin bu usul quyidagi ko`rinib turgan nuqsonga ega: f ning qiymatlari, agar ular [х_п, х_n+1]
ning chetki nuqtalariga mos kelmasa, faqat y_n+1 ni hisoblashda foydalanib, avvalgi у_п, у_п1, ... va keyingi у_п+2, y_n+v ... larni hisoblashda qatnashmaydi.
Kelgusida f ning qiymatlarini hisoblashning bir necha qadamlarida ishlatishga imkon beradigan usullar haqida so`z yuritiladi.
Aniqmas integralni topishda foydalaniladigan integrallash qoidasi muvaffakiyatsiz tanlangan bo`lsa, hisoblash xatolari yig`ilib bir necha qadamdan keyin keraklisidan katta bo`lib ketishi mumkin. Xuddi shu holni misolda ko`raylik. Faraz qilaylik, у<sub>п+1</sub> ni hisoblash uchun oldingi у<sub>п-х</sub> va у<sub>п</sub> qiymatlar hamda hosilaning ikkita у`_n-1 = f_n-1 va у`<sub>п</sub> = f qiymatlari asosida interpolyatsiyadan foydalanaylik. Bu yerda ikkita ikki karrali tugunlarga ega bo`lganimiz uchun Ermit formulasidan foydalanishimiz mumkin va qoldiq hadni tashlab quyidagi integrallash qoidasiga ega bo`lamiz:
(12.4)
Bu tenglik barcha uchinchi tartibli ko`p hadlar uchun aniqdir. Bu formula bir marta qo`llashda yaxshi natija beradi, lekin ko`p marta qo`llash uchun esa xato tez ortib borishi sababli yaroqsizdir.
Faraz qilaylik, f ning barcha qiymatlari va у<sub>n-1</sub> aniq hisoblangan bo`lib, у_п ni hisoblashda xatoga (masalan, yaxlitlash hisobidan) yo`l qo`yilgan bo`lsin. Birinchi bobda hisoblash jarayoni uchun ko`rganimizdek bu xato у_п+1, у_п+2, у_п+3, ... larni topishda ularga mos ravishda, kabi o`sa borib noturg`unlik yuz beradi. Keyingi punktda y_n+k ni topishda bu xato qonuniyat bilan o`sishini ko`ramiz. Bundan (12.4) formulaning hisoblash uchun yaroqsizligi ma`lum bo`ladi. Uning o`rniga, (12.3) integralni trapetsiya formulasi bilan hisoblasak formulaga ega bo`lamiz. Bu formulaning algebraik aniqlik darajasi birga teng bo`lsa ham, ko`p martalab qo`llash uchun qulaydir, chunki xato jamlanmaydi. Ko`p martalab qo`llaniladigan qoidalarning turgunliklariga katta e`tibor berish lozim. Bu masalalarni keyingi punktda ko`rib o`tamiz.