Stoksformulasi

Stoksformulasi
Mazkur punktda Grin formulasining umumlashmasi bo’lgan sirt integrali bilan egri chiziqli integralni bog’lovchi formulani keltirib chiqaramiz.
fazoda tenglamabilananiqlangansilliq sirtberilganbo'lsin Busirtningchegarasi bo’lakli–silliqegrichiziqbo'lsin sirtning tekislikdagiproeksiyasini deylik. Unda ningproeksiyasi daniboratbo'ladi.
Farazqilaylik, sirtda funksiyaberilganbo'lib, u uzluksizbo'lsin. Undantashqaribufunksiya da

Xususiy hosilalarga ega va ular uzluksiz bo'lsin.
Ushbu

Egri chiziqli integralni qaraylik ( uning mavjudligi ravshan) Agar chiziqning sirtda yotishini e'tiborga olsak , u holda

bo'ladi . Endi Grin formulasidan foydalanib ushbuni topamiz

Ravshanki . funksiyanin y o'zgaruvchi bo'yicha xususiy hosilasi OP ( x .. = ( x , y ) ) OP ( x.y = ( x , y ) ) a bo'ladi . Ushbubobning 2 - § dagi( 19.7 ) munosabatlardan cos y bo 'lishinie'tiborgaolsak . ( 19.1 ) 8 288

Farazqilamiz, - sirt silliq va karrali nuqtalarga ega bo’lmasin: U bo’lakli silliq kontur bilan chegaralangan bo’lsin.

sirtni o’z ichiga oluvchi biror fazoviy sohada funksiya berilgan bo’lib, u bu sohada o’zining xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsin. U holda quyidagi

formula o’rinli.
Avval chiziq bo’yicha egri chiziqli integralni chiziq bo’yicha interalga almashtiramiz:

Bu tenglikni chiziqni ushbu

parametric ifodasini, u orqaliesa - chiziqnikini

kiritib, osontekshirishmumkin. U holdaikkala integral bittao’sha parameter bo’yichaoddiyintegralgakeladi:

Endi (2) nio’ngtomonidagiintegralga Grin formulasiniqo’llaymiz:

Oxirgi integral ostidagiifodadanqyuidaginiolamiz:




Endibuni (3) tenglikkaqo’ysak, ushbuikkikarraliintegralgakelamiz:


Ushbu


buyerda (S) sirttomonigamosyo’naltiruvchikosinuslar, formula ikkinchivabirinchi tur sirtintegrallarinibog’lovchiumumiy formula bo’lib, bizgama’lumki, sirtningtanlangantomoninixarakterlovchi, yonaltiruvchikosinuslar, quyidagiformulalarorqalianiqlanadi


Boshqatomondan parametrlar bo’yicha ikki karrali integralga o’tishda,
elementni ifoda bilan almashtiriladi. Nihoyat, ushbu

O’ngtomonda, funksiyalarda o’rniga ularning orqali ifodalari qo’yilgan deb faraz qilinadi.
(4’) formulagaasosan,

ikkikarraliintegralnisirtnitanlangantomonibo’yichaolingan

sirtintegraligaosonalmashtirishmumkin. Shu bilan (1) tenglikisbotlandi.
Xuddishungao’xshash, quyidagitengliklarniolamiz:


buyerda – ga bog’liq yangi funksiyalar bo’lib, ular funksiyaga qo’yilgan shartlarniqanoatlantiradi.
(1), va uchala tengliklarni qo’shib, quyidagi nisbatan umumiy ko’rinishdagi formulani olamiz:


Bu tenglikStoksformulasideyiladi.
Agar sirtning bo’lagi sifatida tekislikdagi soha olinsa,
bo’lib, u holda quyidagi formula hosil qilinadi


buesama’lumki, Grin formulasidir. Shundayqilib, oxirgi formula Stoksformulasiningxususiyholidaniborat.
Nihoyat, Stoksformulasidaikkinchi tur sirtintegralibirinchi tur sirtintegralibilanalmashtirlishimumkin. U holdabu formula quyidagi


ko’rinishgaegabo’lib, sirtni tanlangan tomoniga mos normalning yo’naltiruvchi kosinuslari.
Shundayqilib, Stoksformulasi (S) sirtbo’yichaolingan II-tur sirtintegralibilanshusirtningchegarasibo’yichaolinganegrichiziqliintegralnibog’lovchiformuladir.
Stoksformulasiniqo’llashgamisolkeltiramiz.
Misol. bo’lsin. sirt sifatida

sferadan

silindrbilankesilganolamiz.
Egrichiziqniushbu

parametrikifodasigao’tib, egrichiziqli integral uchunoddiy integral ko’rinishdagi
yetarlichamurakkabifodanitopamiz:

Figuraliqavslardagi ga ko’paytirilgan 1- va 3- qo’shiluvchilar ko’rinishga ega bo’lib, ulardan olingan integral kosinusni davriyligiga asosan, nolga teng:


ikkinchi integral esa

Shundayqilib,



ekaninihisobaolib, quyidagi

2- tur sirtintegraliniavval 1-tur integralgaalmashtiramiz:



bo’lganiuchun, u holdabuifodalarnio’rnigaqo’yib, keying qisqartirishlarnibajaramizvaquyidagiko’rinishdagiintegralgakelamiz:



Sirtni tekislikka nisbatan simmetikligiga ko’ra,

Qolganintegralniyana 2-tur integralgaalmashtiramiz: