Aniqmas integrallarni hisoblash

2. Hisoblash xatosi va yaqinlashish. Faraz qilaylik, (12.1) integralning qiymatini h>0 qadamli turda hisoblash uchun
(12.6)
formula tanlangan bo`lsin. Bu formula bilan hisoblashda у<sub>л+1</sub> ni topish uchun y<sub>n</sub>, y<sub>n-1,</sub> ..., у<sub>п-p</sub> va f ning т = т(п) ta qiymatlari ma`lum deb qaraymiz. Agar bu formulada taqribiy qiymat y_n+1o`rniga aniq qiymat y(x<sub>n +1</sub>) ni qo`ysak, tenglik bajarilmaydi va tenglik o`rinli bo`lishi uchun (12.5) ning o`ng tomoniga formulaning xatosi deb ataluvchi qo`shimcha r_п hadni qo`shish kerak:
(12.6)
Odatda hisoblashlar yaxlitlash bilan bajariladi. Shuning uchun ham n- qadamdagi yaxlitlash xatosini - orqali belgilasak (12.5) formula o`rniga ushbu
(12.7)
hisoblash formulasiga ega bo`lamiz.
Bundan keyingi asosiy vazifamiz у_к taqribiy qiymatning

xatosini o`rganishdan iboratdir. Buning uchun (12.7) ni (12.6) dan ayirib, xato uchun
(12.8)
o`zgarmas koeffisiyentli bir jinsli bo`lmagan chekli-ayirmali tenglamani hosil qilamiz. Biz bundagi у<sub>к</sub>(к = ) taqribiy qiymatlarning xatolari y<sub>к</sub>(к = ) ma`lum deb qaraymiz. Qolgan barcha _к (к > р) ketma-ket ravishda (12.8) formuladan aniqlanadi. (12.8) da n = p deb olsak _p+1 dastlabki _к(к = ) va r_p + _p larning chiziqli kombinatsiyasi sifatida topiladi. Bu natijadan foydalanib va (12.8) da п = р deb olib _p+1 ni dastlabki _к(к = ) va r_p + _p larning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi va hokazo. Shunday qilib, (12.8) tenglama yordamida п> р uchun _к (к р)va r_p + _p, , ..., , r_n-1 + _n-1 larning bir jinsli funksiyasi kabi ifodalanadi:

Ko`rinib turibdiki, Г funksiya (12.8) tenglamaga mos
(12.10)
bir jinsli tenglamaning <sub>k</sub>= `_к(к = ) dastlabki shartlarga mos keluvchi xususiy yechimidir. Haqiqatan ham, (12.9) da barcha j = uchun r_j + _j = 0 deb olib, bu dastlabki shartlardan foydalansak, _п = Г kelib chiqadi. Shuning uchun ham Г funksiya _i ning ta`sir yoki Grin funksiyasi deyiladi. Xuddi shunga o`xshash G nolli е₀ = ... = _p =0 dastlabki shartni qanoatlantiradigan

tenglamaning yechimidir. Haqiqitan ham, (12.9) da, е₀= ... = _p =0 , r_j + _j = deb olsak, _п = G kelib chiqadi. G funksiya r_i+ _i ozod hadning ta`sir funksiyasi deyiladi. Endi ekanini ko`rsatamiz. Haqiqatan ham, (12.11) tenglama faqat n = i bo`lganda bir jinsli bo`lmagan hamda n < i va n < i uchun bir jinsli tenglama bo`lib, G quyidagi

masalaning yechimidir. Bu masala Г ni aniqlaydigan masaladan faqat shu bilan farq qiladiki, bunda n o`q bo`yicha i-р+1 birlikka surilgandir, demak,
Bundan foydalanib, _п ni quyidagicha yozamiz:
(12.12)
yoki
(12.13)
bu yerda
(12.14)
Ko`rinib turibdiki, Е<sub>п</sub><sup>(i)</sup> (12.10) bir jinsli tenglamaning dastlabki shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo`lib, va Е ⁽_п³⁾ lar mos ravishda L(E_n)= _n va L(E_n)=r_п bir jinsli bo`lmagan tenglamalarning nolli Е_к = 0(к = ) dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan yechimidir.
Endi h 0 da y_n(n = ) taqribiy yechimlarning у(х_п) aniq yechimga tekis yaqinlashish shartini aniqlaymiz. Buning uchun ular orasidagi masofa sifatida

miqdorni olamiz. _п, _п va r_п lar o`zaro bog`liq bo`lmaganliklari sababli, , h 0 da (у, у<sub>n</sub>) 0 bajarilishi uchu h 0 da maxE<sup>(</sup><sub>n</sub><sup>k)</sup> (к =1,2,3) lar nolga intilishlari kerak.
Ishni Е<sub>п</sub> ni o`rganishdan boshlaymiz. Agar dastlabki xatolar k(к< р) absolyut qiymatlari bo`yicha chegaralagan bo`lsa, u holda (12.14) ga ko`ra

baho kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, (12.5) formula o`zgarmas y ni aniq integrallasin va f = 0 bo`lsin. U holda bu formulaning koeffisiyentlari shartni qanoatlantirishi kerak. Bu esa _n = 1 bir jinsli L( _n)=0 tenglamaning yechimi ekanini ko`rsatadi. Bundan tashqari, y o`zgarmas va f 0 bo`lgani uchun <sub>j</sub> =r<sub>j</sub> = 0 bo`lib, (12.9) dan
kelib chiqadi. Demak, ixtiyoriy n uchun

n da Е_п ning tartibi bilan yig`indining chegaralanganligi uzviy bog`liqdir. Shu munosabat bilan, quyidagi ta`rifni kiritamiz.
Ta`rif. Agar shunday M soni topilsaki, bo`lganda barcha
п р uchun

tengsizlik bajarilsa, u holda (12.5) formula dastlabki qiymatlarning _i (i р) xatolariga nisbatan turg`un deyiladi.
Endi turg`unlik kriteriysini keltiramiz.