Aniqmas integrallarni hisoblash

1-teorema. (12.5) formula dastlabki xatolar _i (i р)ga nisbatan turg`un bo`lishi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarlidir:
1)
tenglamaning _к ildizlari orasida moduli bo`yicha birdan kattasi mavjud emas;
2) moduli birga teng bo`lgan ildizlar tubdir.
Isbot. Oldingi paragrafdan ma`lumki (12.10) bir jinsli o`zgarmas koeffisiyentli chiziqli ayirmali tenglamaning umumiy yechimi

(p + 1) - darajali algebraik tenglamaning ildizlari orqali aniqlanadi.
Tenglamaning ildizlarini ₁, ₂, ..., _т va ularning karralarini k₁ ,k₂, ..., k_т orqali belgilasak, u holda funksiyalar L( _n)=0 bir jinsli tenglama yechimlarining fundamental sistemasini tashkil etadi. Tenglamaning ixtiyoriy yechimi ularning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo`ladi.
I kkinchi tomondan, dastlabki qiymatlarning ta`sir funksiyasi ham fundamental sistemani tashkil etadi va bu sistema yechimlardan maxsusmas matritsali chiziqli almashtirish yordamida hosil bo`ladi.
Ushbu yig`indining chegaralanganligi funksiyalarning chegaralanganliklari bilan va demak barcha n uchun yechimlarning chegaralanganliklari bilan teng kuchlidir. Bu esa _i lar modullari bo`yicha birdan katta bo`lmagandagina yoki | _i | = 1 holda esa к _i = 1 bo`lgandagina o`rinlidir. Shu bilan teorema isbotlandi.
Endi Е ni tekshiramiz. Agar barcha qadam uchun _n larning yuqori chegarasi bo`lsa, ya`ni u holda (12.14) ga ko`rа
(12.15)
bo`ladi. Agar _n, shartni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarni qabul qiladi deb faraz qilsa, u holda oxirgi baho aniq bo`lib, п = N va
bo`lganda tenglikka erishiladi.
Ko`rinib turibdiki, h 0 da N cheksiz ortib boradi.
Endi L( ) = 0 bir jinsli tenglamaning yechimlari bo`lgan ushbu
(12.16)
sistemani qaraymiz. Bu yerda Г⁽_р^р) = 1 ni hisobga olsak, u holda quyidagi matritsa

п = 1,2, ..., р uchun (12.16) sistemaning qiymatlarini tasvirlaydi. Bu matritsaning determinanti noldan far qli. Shuning uchun ham (12.16) sistema fundamental sistema bo`lib, u va demak yechimlardan maxsusmas chiziqli almashtirish yordamida hosil bo`ladi. Ularning chegaralanganligi Г va funksiyalarning chegaralanganligi bilan teng kuchlidir.
Ta`rif. Agar h ga bog`liq bo`lmagan shunday М<sub>1</sub> soni mavjud bo`lib, barcha N > р uchun

tengsizlik bajarilsa, u holda (12.5) hisoblash formulasi _n yaxlitlash xatolariga nisbatan turg`un deyiladi.