Aniq integralning tadbiqlari tekis shakl yuzini hisoblash Darajali qator va uning yaqinlashish radiusi

Shartli yaqinlashuvchi qatorlar
Agar qator yaqinlashib, qator uzoqlashsa, qator shartli yaqinlashadi deymiz.

Musbat hadli qatorlarning Drixli va Abel alomati
bunda a_k va b_k lar haqiqiy sonlar bo'lib, ulardan biri ishorasini saqlasa, ikkinchisi, masalan a_k. turli ishorali qiymatlar qabul qilishi mumkin.
Agar a_k ketma-ketliklardan tuzilgan ko'rinishdagi qator qismiy yig'indilari chegaralangan bo'lsa, ya 'ni va b_k ketma-ketlik monoton kamayib, b_k ≥ b_k+1 , k= 1, 2, … nolga intilsa, b_k 0, k
u holda (1) qator yaqinlashadi.

Taqqoslash teoremasi
1-teorema. Faraz qilaylik, f (x) va g(x) funksiyalar [a,) oraliqda berilgan bo`lib, x[a,) da 0  f (x)  g(x) bo`lsin.
Agar yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda ham yaqinlashuvchi bo`ladi.
Agar uzoqlashuvchi bo`lsa, u holda ham uzoqlashuvchi bo`ladi.
2-teorema. Faraz qilaylik, f (x) va g(x) funksiyalar [a,) da f (x)  0 g(x)  0 bo`lib, (0Agar k   bo`lib, yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda ham yaqinlashuvchi bo`ladi.
Agar k > 0 bo`lib, uzoqlashuvchi bo`lsa, u holda ham uzoqlashuvchi bo`ladi.

To`plamda uzluksiz bo`lgan funksiyalarning xossalari
Faraz qilaylik, f (x) funksiya X  R to‘plamda berilgan bo‘lib, x₀  X bo‘lsin.
1.Agar f (x) funksiya x₀  X nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda shunday   0 va M  0 sonlari topiladiki, da |f(x)|< M bo‘ladi, ya’ni f (x) funksiya x₀ nuqtaning atrofida chegaralangan bo‘ladi.
2. Agar f (x) funksiya x₀  X nuqtada uzluksiz bo‘lib, f (x₀ )  0 bo‘lsa, u holda shunday   0 son topiladiki, da sign f(x) = sign f(x₀) bo‘ladi, ya’ni f (x) funksiyaning dagi ishorasi f(x₀) ning ishorasi kabi bo‘ladi.
3. Aytaylik, y  f (x) funksiya x₀ nuqtada ga ega bo‘lib, gy funksiya Y to‘plamda berilgan { f (x)| x X} U{b}Y va y  b nuqtada uzluksiz bo‘lsin. U holda ya’ni bo‘ladi.