Aniq integralning tadbiqlari tekis shakl yuzini hisoblash Darajali qator va uning yaqinlashish radiusi

Yaqinlashuvchi qator xossalari
a₁ + a₂ + ... + a_n + ... (1)
b₁ + b₂ + ... + b_n + ... (2)
Songa ko’paytirish ca₁ + ca₂ + ... + ca_n + ... (3)
Qatorlar yig’indisi (a₁+b₁)+ (a₂+b₂) + ... + (a_n+b_n) + ... (4)
Qatorlar ayirmasi (a₁-b₁)+ (a₂-b₂) + ... + (a_n-b_n) + ... (5)
1-xossa. Agar (1) qator yaqinlashuvchi, yig’indisi S ga teng bo’lsa, u holda (3) qator ham yaqinlashuvchi bo’lib, yig’indisi cS ga teng bo’ladi.
Isbot. (3) qatorning n-xususiy yig’indisini yozib olamiz: ca₁ + ca₂ + ... + ca_n . Buni quyidagicha yozish mumkin: , bu yerda S_n (1) qatorning n-xususiy yig’indisi. Teorema shartiga ko’ra u holda limit mavjud bo’ladi: .
2-xossa. Agar (1) va (2) qatorlar yaqinlashuvchi va yog’indilari mos ravishda S va S` bo’lsa, u holda (4) va (5) qatorlar ham yaqinlashuvchi bo’lib, ularning yog’indilari mos ravishda S+S` va S-S` ga teng bo’ladi.
3-xossa. Yaqinlashuvchi qatorda hadlarning joylashish tartibini o’zgartirmasdan ixtiyoriy guruhlash natijasida hosil bo’lgan yangi qator yaqinlashuvchi va uning yig’indisi avvalagi qator yog’indisiga teng bo’ladi.

Ikkinchi tur xosmas integrallar va ularning yaqinlashuvchiligi
Aytaylik, f (x) funksiya [a, b] kesmada berilgan bo’lib, b nuqtada chegaralanmaganbo’lsin. Bu holda b ni maxsus nuqta deyiladi. U vaqtda kesmada f (x) funksiya integrallanuvchi bo’lmaydi, bunda [a, b- ] kesmada f(x) funksiyani integrallanuvchi (demak, chegaralangan) bo’lsin deb qaraymiz. Agar ushbu (1) limit mavjud va chekli bo’lsa, u holda bu limitni f(x) funksiyadan [a,b] kesma bo’yicha olingan ikkinchi tur xosmas integral deyiladi va (2) kabi belglanadi. Bu holda (2) integral mavjud va chekli bo’lsa yaqinlashuvchi deyiladi. Agar (1) limit mavjud bo’lmasa yoki cheksizga teng bo’lsa, u holda (2) integral mavjud emas yoki uzoqlashuvchi deyiladi.