Amaliy matematika va informatika yo’nalishi

ALISHER NAVOIY NOMIDAGI
SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI
Amaliy matematika va informatika fakulteti

Amaliy matematika va informatika yo’nalishi

«HISOBLASH USULLARI» FANIDAN

« Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari.»

MAVZUSIDAGI

KURS ISHI

Bajaruvchi: 303-guruh talabasi Temirov Nodirbek
Imiy rahbar: Xo’jayorov B
SAMARQAND – 2020
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish


Asosiy savollar

1. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning dastlabki ma’lumotlari.
   
2. 
   Chiziqli algebraik tenglamalarni yechishning ikki qismga, ya‘ni aniq va iterasion metodlarga bo’linishi.
   
3. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini teskari matrisa va Kramer usuli orqali yechish.
   
4. 
   Noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish. Gauss metodi.
   

Tayanch iboralari: Aniq metod, Taqribiy metod, sonli yaqinlashish, Algebraik, blok-sxema.

Nazariy va tadbiqiy matematikaning kupgina masalalari chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Masalan funksiyani uning nuqtada berilgan qiymatlari yordamida chi tartibli kupxad bilan interpolyasiyalash yoki funksiyani urta kvadratlar metodi yordamida yakinlashtirish masalalari chizikli algebraik tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi.

Bir jinsli bulmagan chizikli algebraik tenglamalar sistemasini yechish masalasi bilan matrisalarning teskarisini topish va determinantlarini xisoblash masallari uzviy ravishda boglangandir. Bu masalalar nazariy jixatdan osongina yechiladi, lekin matrisalarning tartibi ortgan sari bu masalalarni amalda yechish juda katta xisoblashlarni talab kiladi.
Chiziqli algebraik tenglamalarni yechish asosan ikki – aniq va iterasion metodlarga bulinadi.
Aniq metod deganda shunday metod tushuniladiki uning yordamida chekli mikdordagi arifmetik amallarni anik bajarish natijasida masalaning anik yechimini topishi mumkin. Xammaga ma’lum bulgan metod Kramer, Gauss bosh elementlar metodi, kvadrat ildizlar metodi misol bula oladi. Lekin Kramer koidasi amalda ishlatilmaydi, chunki bu metod bilan chi tartibli chizikli algebraik tenglamalar sistemasini yechish uchun tartibdagi arifmetik amallarni bajarishga tugri keladi. Bu nixoyatda kata son bulib, bu koida bilan xatto tartibli sistemani yechish uchun xam xozirda mavjud bulgan EXM lari ojizlik kiladi.
Iterasion metodlar shu bilan xarakterlanadiki, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi ketma-ket yaqinlashishlarning limitidek topiladi.
Iterasion metodlarni kullayotganda fakat ularning yaqinlashishlarigina emas, balki yaqinlashish tezligi xam katta axamiyatga egadir.
Iterasion metodlarga: Iterasiya metodi, Zeydel metodi, Relaksasiya metodlari misol bula oladi.
Bu ma’noda xar bir iterasion metod universal bulavermaydi.
Bu metodlar ayrim sistemalar uchun juda tez yakinlashib, boshka sistemalar uchun sekin yaqinlashishi yoki umuman yaqinlashmasligi mumkin. Shuning uchun iterasion metodlarni qullayotganda sistemani avval tayyorlab olish kerak. Buning ma’nosi shundan iboratki berilgan sistemani unga teng kuchli bulgan shunday sistemaga almashtirish keraki, xosil bulgan sistema uchun tanlangan metod tez yaqinlashsin.
Xozirgi zamon EXM lari yordamida aniq metodlar bilan tartibi 10³ dan katta bulmagan, iterasion metodlar yordamida 10⁶ dan ortmaydigan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish mumkin.
Faraz qilamiz -chi tartibli -ta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bulsin.

Quyidagi belgilashlar kiritamiz.

bu belgilashlardan foydalanib (1) sistemani quyidagicha yoza olamiz.

(2)
(1) sistemani ayniyatga aylantiradigan sonlar tuplamiga (1) sistemaning yechimi, sonlarning uzi esa uning ildizlari deb aytiladi.
Agar
bulsa (1) sistema yagona yechimga ega buladi.
Xaqiqatan ham bulsa teskari matrisa mavjud buladi. (2) – chini chapdan ga kupaytirib xosil kilamiz.

bu yerdan.



misol 1.1:

(1) – sistemani yechish uchun Kromer koidasini kullaymiz

( noma’lum oldidagi koeffisiyentlar urnida ozod xadlar katnashadi)
Misol 1:

Shunday kilib kurinib turibdiki ta noma’lumli ta tenglamalar sistemasini yechish chi tartibli chi determinantni yechish bilan boglik. Agar yukori tartibli bulsa bunday determinantlarni yechish katta kiyinchiliklar bilan boglik. Shuning uchun shu mas’alani yechishni tugri metodlaridan bulgan Gauss metodi bilan tanishamiz. Bu metodning algoritmi juda kulay va dasturlashga juda oson kuchadi. Bu metodning asosiy goyasi noma’lumlarni ketma-ket yukotishga asoslangan. Bu metod bir necha xisoblash simmalariga ega shulardan biri Gaussning kompakt sxemasini kurib chikamiz.

Faraz kilaylik, (yetakchi element) bulsa, aks xolda tenglamalarni urinlarini almashtirib, oldidagi koeffisiyentni noldan farkli bulgan tenglamani birinchi uringa kuchiramiz. Sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisiyentlarini ga bulib

ni xosil kilamiz, bu yerda

(4) dan foydalanib (3) sistemaning kolgan tenglamalaridan -ni yukotish mumkin. Buning uchun (4) tenglamani ketma-ket larga kupaytirib, mos ravishda sistemaning 2 – chi, 3 – chi va x.kazo tenglamalaridan ayiramiz, natijada kuyidagi sistema xosil kilamiz.

bu yerda koeffisiyentlar

formula yordamida xisoblanadi.
Endi (5) sistema ustida xudi yukoridagi almashtirishlarni utkazamiz.
Buning uchun (5) sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisiyentlarini yetakchi element ga bulib

ni xosil kilamiz, bu yerga

(6) tenglama yordamida (5) sistemaning keyingi tenglamalaridan ni yukotib

ni xosil kilamiz.

Noma’lumlarni yukotish jarayonini davom ettirib
ga ega bulamiz
u vaktda biz uchburchak matrisali va (3) sistemaga ekvaivolent bulgan, kuyidagi sistemaga ega bulamiz.

Oxirgi sistemadan ketma-ket larni topish mumkin.

(8) sistemaning koeffisiyentlarini topish Gauss metodining tugri yurishi, (9) sistemadan yechimni topish jarayoni teskari yurishi deyiladi.
Misol:

Gauss metodi bilan ta noma’lumli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish uchun bajariladigan arifmetik amallarning miqdori ta kupaytirish, bulish va ta qushishdan iborat buladi.
Gauss metodining qullashning zarur va yetarli sharti shundan iboratki yetakchi elementlarning xammasi noldan farqli bulishi kerak.
Qulda xisoblayotganda xatoga yul quymaslik uchun, xisoblash jarayonini kantrol qilish ma’kuldir. Buning uchun biz berilgan sistema matrisa satrlardagi elementlar va ozod xadning yigindisidan tuzilgan nazorat.

yigindidan foydalanamiz.
Agar larni berilgan sistemani ozod xadlari deb qabul kilsak u xolda almashtirilgan

sistemani yechimi berilgan sistemaning yechimi orkali kuyidagicha ifodalanadi.

Agar satr elementlar ustida bajariladigan amallarni xar bir satrdagi kontrol yigindi ustida xam bajarsak va xisoblashlar xatosiz bajarilgan bulsa, u xolda nazorat yigindilardan tuzilgan ustunning xar bir elementi mos ravishda almashtirilgan satrlar elementlarining yigindisiga teng buladi.
Bu xol esa tugri yurishni kontrol kilish uchun xizmat kiladi. Teskari yurishda esa, kontrol larni topish bilan bajariladi.

Yuqoridagi bajarilgan amallarni kuyidagi jadvalda joylashtirish mumin.

				ozod xadlar		sxema kismlari
	1

Adabiyotlar

1. 
   Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М: Мир, 1988. (36-45 betlar)
   
2. 
   Хўжаёров Б.Х. Қурилиш масалаларини сонли ечиш усуллари. Тошкент, “Ўзбекистон”, 1995. (102-106 betlar)
   
3. 
   Демидович Б.П., Марон И.А, Шувалов Э.З. Численные методы анализа. М: Гос.изд. физ-мат. лит. 1962. (255-264 betlar)
   
4. 
   Волков Е.А. Численные методы. М: Наука, 1982. (193-200 betlar)
   
5. 
   Исраилов М.И. Ҳисоблаш усуллари. Тошкент: Укитувчи, 1996.