Amaliy matematika va informatika” yo‘nalishi 18. 08-guruh talabasi Ibrohimova Mahliyoxon Bakirjon qizining

Kirish.

Analitik usullar bilan biz differensial tenglamalar fanidan tanishmiz. Bu usullar faqat tor doiradagi tenglamalar sinfinigina yechish imkonini beradi. Xususan, bu usullar o‘zgarmas koeffitsiyentli ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni yechishda keng qo‘llaniladi. Bunday tenglamalar ko‘plab fizik jarayonlarni tadqiq qilishda uchraydi, masalan tebranishlar nazariyasida, qattiq jismlar dinamikasida va shunga o‘xshash.Tabiiy fanlar va muhandislik hisoblarining ko‘plab tadqiqotlarida differensal tenglamalarning berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlanti-ruvchi yechimlarini topish talab etiladi. Boshlang‘ich yoki chegaraviy masalalarni yechish – bu juda keng ma’noda bo‘lib, ular aniq analitik usullar va taqribiy sonli usullardir.
Taqribiy usullar kompyuterlar paydo bo‘lmasidan ancha avval ishlab chiqilgan. Hozirgi kunda ham ularning ko‘pchiligi amaliyotda o‘z mazmunini yo‘qotgani yo‘q. Taqribiy usullar umumiy holda ikki guruhga bo‘lnadi: taqribiy-analitik usullar (boshlang‘ich yoki chegaraviy masalaning berilgan kesmadagi taqribiy yechimini biror funksiya ko‘rinishida izlash); sonli yoki to‘r usullar (boshlang‘ich yoki chegaraviy masalaning berilgan kesmadagi taqribiy yechimini qurish).
Zamonaviy hisoblash texnikasi va yig‘ilgan hisoblash tajribalari differensial tenglamalarning katta va murakkab masalalarini taqribiy yechish imkonini bermoqda. Sonli hisoblashlarda eng muhim jihat bu yetarlicha aniqlikda izlanayotgan taqribiy yechimga erishishdir. Bu aniqlikning muhim jihatlari esa EHMdan foydalanish aniqligi, kiritilayotgan ma’lumotlarda yo‘l qo‘yilishi mumkin bo‘lgan xatoliklar va yaxlitlash natijasida paydo bo‘ladigan xatoliklardan qutilishdir.

I. Oddiy differensial tenglamalar sistemasi.

1. Differensial sistemalarning normal sistemasi. Umumiy tushunchalar.

Agar noma’lum funksiyalar ta bo‘lib, ular bitta erkli o‘zgaruvchining funksiyalari bo‘lsa, quyidagi ta differensial tenglamani ko‘rish mumkin:
(1.1)
bunda funksiyalar o‘lchovli fazoning biror soxasida aniqlangan. Bu (1.1) sistema
xosilalarga nisbatan yechiladi deb qarasak, ushbu
(1.2)
Sistemaga kelamiz. Ravshanki, funksiyalar o‘lchovli fazoning biror soxasida aniqlangan deb qarash lozim. Shu (1.2) tenglamalar sistemasi differensial tenglamalarning Kanonik sistemasi deb ataladi. Kanonik sistemalarni yana boshqa ko‘rinishda ham yozish mumkin . Differensial tenglamalarning ikki sistemasi bir xil yechimga ega bo‘lsa, bu sistemalar ekvivalent deyiladi. Endi kanonik sistemalarni unga ekvivalent sistema ko‘rinishiga keltiramiz:
(1.2) sistemada bunday belgilashlarni bajaramiz:

belgilashlar natijasida ta noma’lum funfsiyalar o‘rniga ta noma’lum funksiyaga egamiz. Berilgan (1.2) sistema bunday yoziladi:

Biz birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasiga egamiz. Bunday sistemalar tekshirish, integrallash uchun ancha qulay xususiyatlarga ega. Biz yuqorida ushbu
(1.3)
sistemaning xususiy ko‘rinishiga keldik. Shu (1.3) sistema ko‘rinishida -tartibli differensial tenglamani, ya’ni ushbu

Tenglamani ham yozish mumkin. Uning uchun

belgilashni bajarish yetarli.
Shu munosabat bilan biz asosan (1.3) ko‘rinishdagi sistemalarni o‘rganamiz. Bunday sistemalar oddiy differensial tenglamalarning normal sistemasi deyiladi. (1.3) sistemada n-sistemaning tartibi deyiladi.
n ta birinchi tartibli tenglamalarning normal sistemasi ma’lum shartlar bajarilganda bitta n-tartibli tenglamaga keltirilishi mumkin. Yuqoridagi (1.3) sistemani ga nisbatan n-tartibli tenglamaga keltiramiz. Buning uchun avvalo funksiyalar lar bo‘yicha n marta uzluksiz differensiallanuvchi deb qaraymiz. (1.3) ning birinchi tenglamasini differensiallaymiz:

Yoki

Agar xosil bo‘lgan munosabatni yana differensiallasak,

Shunga o‘xshash topamiz:

Shunday qilib, quyidagiga egamiz:
(1.4)
Eslatib o‘tamizki, ketma-ket differensiallash mumkin bo‘lishi uchun funksiyalar barcha argumentlari bo‘yicha (n+1) o‘lchovli biror
soxada (n-1) marta uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lishi yetarli. Endi larni noma’lum deb qarab, ularga nisbatan ushbu sistemani ko‘raylik:
(1.5)
bu sistema larga nisbatan yechilishi mumkin bo‘lishi uchun ushbu

yakobian larning shartni qanoatlantiradigan qiymatlari soxasidan olingan nuqtaning biror atrofida noldan farqli bo‘lishi yetarli. Shunday bo‘lsin deylik. U xolda (1.5) sistemadan topamiz:

bu ifodalarni (1.4) sistemaning oxirgi tenglamasiga qo‘ysak, n-tartibli yuqori xosilaga nisbatan yechilgan bitta
(1.6)
tenglamaga kelamiz.
Agar funksiya (1.6) tenglamaning yechimi bo‘lsa u holda lar uchun ushbu

munosabatlarni topamiz. Keyingi muloxazalarda zarur bo‘lgan (1.3) sistemaning yechimi tushunchasini kiritaylik.
1.1-ta’rif. Bizga (1.3) sistema berilgan bo‘lib, unda funksiyalar (n+1) o‘lchovli fazoning soxasida aniqlangan bo‘lsin. Agar biror I intervalda aniqlangan
(1.7)
funksiyalar sistemasi uchun quyidagi uchta shart:

o‘rinli bo‘lsa, u holda (1.7) funksiyalar sistemasi (1.3) sistemaning yechimi bo‘ladi; (1.3) sistemaning xar bir (1.7) yechimining grafigi uning integral egri chizig‘i yoki soddagina integral chizig‘I deyiladi.
Endi yuqoridagi muloxazalarni davom ettiramiz, ya’ni

Funksiyalar (1.3) sistemaning yechimi ekanini ko‘rsatamiz. Ravshanki, ushbu

Ayniyatlar o‘rinli. Ulardan birinchisini x bo‘yicha differensiallasak:

Bundan oxirgi ayniyatlarning ikkinchisini hadma-had ayiramiz:

Shunga o‘xshash xisoblashlar yordamida quyidagilarni topamiz:

Ammo bo‘lgani uchun quyidagi sistemaga kelamiz:
(1.8)
bu sistemani larga nisbatan qaralsa, uning determinant shartga ko‘ra noldan farqli. Shuning uchun (1.8) sistema faqat trivial yechimga ega, ya’ni ushbu

ayniyatga egamiz. Endi bo‘lgani uchun funksiyalar sistemasi (1.3) sistemaning yechimi ekani kelib chiqadi.
Demak, (1.3) sistema bilan (1.6) tenglama ekvivalentdir.
Qayd qilib o‘tamizki, agar (1.3) sistemada funksiya larga bog‘liq bo‘lmasa, bu sistemani ga nisbatan n-tartibli bitta differensial tenglamaga keltirib bo‘lmaydi. Bu xolda bo‘lganidan

larga egamiz. Ammo bu funksiyalar larga bog‘liq bo‘lmagani uchun,

ayniyatga kelamiz. To‘gri, tenglama ga nisbatan n-tartibli,ammo u (1.3) sistemaga ekvivalent emas! Bundan ko‘rinadiki, berilgan sistemani ixtiyoriy ga nisbatan n-tartibli bitta tenglamaga keltirish, umuman aytganda, mumkin emas. Agar biror uchun

bo‘lsa, u holda shu funksiyaga nisbatan n-tartibli bitta differensial tenglamani xosil qila olamiz.

1.2. Koshi masalasining qo‘yilishi.

(1.3) sistema berilgan bo‘lib, uning o‘ng tomonidagi funksiyalar soxada aniqlangan bo‘lsin. Agar nuqta tayinlangan bo‘lsa, u holda (1.3) sistemaning
(1.9)
Shartlarni qanoatlantiradigan yechimi topilsin. Boshqacha aytganda, Koshi masalasi soxaning tayinlangan nuqtasidan o‘tadigan integral chiziqni topishdan iborat. Shuni ta’kidlab o‘tamizki, Koshi masalasida yechimning aniqlanish intervali ko‘rsatilmaydi. nuqtadan (1.3) sistemaning bitta, ikkita yoki undan ko‘p integral chiziqlari o‘tishi mumkin. Keying mulohazalarni nazarda tutib bilan shunday nuqtalar soxasini belgilaymizki, bu soxaning xar bir nuqtasidan (1.3) sistemaning yagona integral chizig‘i o‘tasi. Ravshanki
2-ta’rif. Xar biri n ta ixtiyoriy o‘zgarmaslarga bog‘liq bo‘lgan n ta ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi
(1.10)
funksiyani olaylik. Agar soxaning har bir nuqtasi uchun (1.10) sistema larga nisbatan
(1.11)
Yechimga ega bo‘lib, bu funksiyalarni quyidagi
(1.12)
Tenglamalarga qo‘yganda (1.3) sistema xosil bo‘lsa, ya’ni ushbu
(1.13)
Munosabat o‘rinli bo‘lsa , u holda (1.10) funksiyalar sistemasi (1.3) sistemaning soxada aniqlangan umumiy yechimi deyiladi.
Yuqorida kiritilgan soxaning xar bir nuqtasidan (1.3) sistemaning yagona integral chizig‘i o‘tadi. Umumiy yechim ta’rifiga ko‘ra o‘zgarmaslarning turli qiymatlarida biz sistemaning tegishli yechimlarini xosil qilamiz. Bu yechimlarni xususiy yechim deyiladi. Xar bir xususiy yechim uchun,ya’ni

Yechim uchum ushbu tegishlilik sharti bajariladi. (n+1) o‘lchovli soxa xususiy yechimlarning grafiklaridan iborat bo‘lgan integral chiziqlar bilan qoplangan, ya’ni soxaning ixtiyoriy nuqtasidan yagona integral chiziq o‘tadi(ta’rif bo‘yicha).
Endi soxaning soxaga tegishli bo‘lmagan nuqtalarini,ya’ni ushbu soxaning nuqtalarini tekshiraylik. Bu soxaning nuqtalaridan yo bitta ham integral chiziq o‘tmaydi, yoki bittadan ortiq integral chiziq o‘tadi. Ammo biz (1.3) sistemaning o‘ng tomoni soxada uzluksiz bo‘lgan xholni ko‘rayapmiz. Bu xolda har bir nuqtadan, demak, har bir nuqtadan kamida bitta integral chiziq o‘tadi. Biz ko‘rayotgan xolda soxaning har bir nuqtasida yechimning yagonaligi sharti buziladi. Xar bir nuqtasida yechimning yagonaligi xossasi buziladigan yechimlar sistemaning maxsus yechimi deyiladi.
Yana soxaga qaytaylik. Shu soxaga tegishli har bir nuqta uchun yagona qiymatlar mos keladi, va aksincha, bo‘lganda larga yagona lar mos keladi. Shuning uchun ba’zi xollarda yechimni
(1.14)
Ko‘rinishda ham yoziladi. Bu yerda lar vixtiyoriy bo‘lgani uchun (1.14) ko‘rinishda yozilgan Koshi formasida yozilgan umumiy yechim deyiladi.

II. Oddiy differensial tenglamalar sistemasi yechimlari.

2.1. Normal sistema uchun mavjudlik va yagonalik teoremalari.

Biz (1.5) sistema uchun mavjudlik va yagonalik teoremalari bilan tanishamiz. Avval (1.3) sistemani (yozuvni ancha qulaylashtiradigan) vector shaklda yozamiz:
(1.15)
Bunda
lar ustun vektorlar. Ba’zi xollarda yana koordinatalar yordamida yozishga qaytamiz. Vektor shaklda umumiy yechim
yoki
ko‘rinishda, xususiy yechim esa yoki lar tayinlangan bo‘lsa, ko‘rinishda yoziladi. vektor- funksiyadan y vector bo‘yicha olingan xosila ushbu

matritsadan iborat.
2.1- teorema (Koshi teoremasi). Agar (1.3) sistemada funksiyalar o‘lchovli soxada aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, bu funksiyalarning , lar bo‘yicha xosilasi, ya’ni funksiyalar
soxada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsa, u holda:

• 
  1. (1.3) sistemaning biror I intervalda aniqlangan va ixtiyoriy tayinlangan nuqta uchun shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud;
  
• 
  2. Agar va vector-funksiyalarning xar biri (1.15) tenglamaning yechimi bo‘lib, shart bajarilsa , u holda bu va yechimlar aniqlanish intervallarining umumiy qismida ustma-ust tushadi, ya’ni
  

1.3-tarif. Agar funksiyallar soxada aniqlangan bo‘lib, shu funksiyalar uchun shunday son mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy ikki nuqta uchun ushbu
(1.16)
Tengsizliklr o‘rinli bo‘lsa, u holda tegishli funksiyalar soxada lar bo‘yicha Lipshis shartini qanoatlantiradi deyiladi, L esa Lipshis o‘zgarmasi deyiladi.