Amaliy matematika va informatika” yo‘nalishi 18. 08-guruh talabasi Ibrohimova Mahliyoxon Bakirjon qizining

1.2-teorema (Koshi – Pikar – Lindelyof teoremasi ).
Agar vector – funksiya soxada aniqlangan va uzliksiz bo‘lib, shu soxada lar bo‘yicha Lipshis shartini qanoatlantirsa, u holda xar bir uchun shunday o‘zgarmas son topiladiki, natijada (1.3) sistemaning bo‘lganda boshlang‘ich shartni qanoatlantiradigan va oraliqda aniqlangan yagona yechim mavjud bo‘ladi.

2.2. Normal sistema uchun -taqribiy yechim.

Normal sistema uchun ham xosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli bitta tenglamadagi kabi - taqribiy yechim tushunchasini kiritamiz. Avval vektor- funksiya normasini kiritaylik.
Agar vektor-funksiya biror I intervalda aniqlangan va uzluksiz bo‘lsa, uning normasi quyidagicha

Aniqlanadi.
1.4-ta’rif. (1.15) vektor-tenglama berilgan bo‘lib, unda vektor-funksiya uchun ushbu to‘rtta shart:
1.
2. bunda S to‘plam xosila 1- tur uzilishga ega bo‘lgan yoki mavjud bo‘lmagan nuqtalar to‘plami ;
3.
4. - chekli to‘plam,
o‘rinli bo‘lsa, u holda vektor-funksiya I intervalda (1.15) vektor-tenglamaning -taqribiy yechimi deyiladi.
Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, agar va bo‘lsa, va bo‘ladi. Bu xolda biz sistema uchun yechim ta’rifiga ega bo‘lamiz.
1.4-teorema. Agar (1.15) vektor-tenglamada vektor-funksiya hamma nuqtalari bilan soxada joylashgan tartibli chegaralangan parallelepipedda
(1.2 –teoremaga k) uzluksiz bo‘lsa, u holda son qanday bo‘lmasin (1.15) vektor-tenglamaning
boshlang‘ich shartni qanoatlantiradigan - taqribiy yechimi mavjud.

2.3. O‘zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi.

Bunday sistemaning sodda ko‘rinishi

dan iborat, bunda o‘zgarmas sonlar. esa ko‘rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.
Ma’lumki, bir jinsli bo‘lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topish uchun, unga mos bo‘lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishga to‘g‘ri keladi.
Shuning uchun ham biz dastavval o‘zgarmas koeffisiyentli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini kvadraturasiz topish usulini qaraymiz.
Bir jinsli, o‘zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin.
(2)
Ma’lumki (2) sistemani, unga ekvivalent bo‘lgan bitta _{ }-tartibli differensial tenglamaga keltirish mumkin.
Shuning uchun (2) sistemasining xususiy yechimlarini
(3)
ko‘rinishda izlaymiz.
Bunda va lar o‘zgarmas sonlardir. Ularni shunday tanlab olamizki (3), (2) sistemani qanoatlantirsin.
Buning uchun (2) ga (3) olib borib qo‘yamiz.
yoki buni ochib yozsak
(4).
Bu larga nisbatan bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasidir.Bu sistema trivial bo‘lmagan yechimga ega bulishligi uchun, uning asos determinanti nolga teng bo‘lishi zarur.
(5).
(5) ga (2) sistemaga mos bo‘lgan harakteristik tenglama deyiladi. Uning ildizlariga harakteristik son deyiladi.
(5) ga nisbatan n- darajali algebraik tenglamadir. (3), (2) sistemaning xususiy yechimi bo‘lishligi uchun (5) harakteristik tenglamaning ildizi bo‘lishi kerak.
(4) ning koeffisiyentlaridan ushbu matrisani tuzamiz
(6).
a) Faraz etaylik harakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va bir-biriga teng bo‘lmasin.
Agar ildizni (5) ga olib borib qo‘ysak
(7)
bo‘ladi.
Isbot etamizkim qiymatda (5) determinantning xech bo‘lmaganda _{ } tartibli minorlaridan biri nolga teng bo‘lmaydi.
Haqiqatan ham harakteristik tenglamaning oddiy ildizi bo‘lgani uchun
(8)
nolga teng bo‘lmaydi.
Ikkinchi tomondan
(9)
Bunda determinantdagi elementining algebraik tuldiruvchisi bo‘ladi.Agar kiymatini (9) keltirib qo‘ysak (8) ga asosan larning xech bo‘lmaganda biri nolga teng bo‘lmaydi, ya’ni (9) dagi n-1 tartibli determinantlardan xech bo‘lmaganda biri nolga teng bo‘lmaydi.
Bundan, (6) matrisaning rangi n-1 ga tengligi kelib chiqadi. Ya’ni (4) sistemadagi tenglamalardan biri qolganlarini natijasi ekanligi kelib chiqadi.
U holda (4) sistema trivial bo‘lmagan yechimlarga ega . Lekin matrisaning rangi n-1 ga teng bo‘lgani uchun, bu ildizlar bir-biridan o‘zgarmas songa fark kiladi.

Bunda lar o‘zgarmas sonlardir.
Agar teng deb, bu qiymatlarni (3) ga qo‘ysak, harakteristik tenglamaning ildiziga mos bo‘lgan (2) sistemaning xususiy yechimlari.
(10)
ga ega bo‘lamiz.
Ma’lumki (2) sistemaning xususiy yechimlarini biror o‘zgarmas songa ko‘paytirsak, hosil bo‘lgan ifoda yana berilgan sistemaning yechimi bo‘ladi.
Shunga kura, harakteristik tenglamaning ildizlari uchun yuqoridagi muloxazalarni ishlatsak, sistemaning n- ta (10) ko‘rinishdagi xususiy yechimlarini aniqlash mumkin.
Isbot etish mumkinkim, bu topilgan xususiy yechimlar, berilgan sistemaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi.
1-misol.

harakteristik tenglama tuzamiz

b) Faraz etaylik harakteristik tenglama konpleks ildizga ega bo‘lsin. Harakteristik tenglamaning koeffisiyentlari haqiqiy sonalardan iborat bo‘lgani uchun u ga qo‘shma bo‘lgan kompleks ildizga ham ega bo‘ladi..
Harakteristik tenglamaning ildiziga mos bo‘lgan (2) sistemaning yechimi

kompleks son bo‘lgani uchun uni ko‘rinishda yozish mumkin. U holda

yechimlarga ega bulamiz. Bundan ko‘rinadikim harakteristik tenglamaning bir juft kompleks ildiziga (2) sistemaning 2 ta haqiqiy yechimi mos keladi.
2-misol.




v) Faraz etaylik harakteristik tenglama karrali ildizlarga ega bulsin.
U holda sistemaning umumiy yechimini oldingi metodlar bilan topa olmaymiz. Lekin bu holda ham uning umumiy yechimini elementar funksiyalar yordamida topish mumkin.
O‘zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamada kurgan edikim agar harakteristik tenglamaning k- karrali ildizi bulsa, tenglamaning bu ildizlariga mos bo‘lgan k ta chiziqli boglik bo‘lmagan yechimlari mavjud bo‘ladi.
Sistema uchun kuyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
Teorema. Agar harakteristik tenglamaning k karrali ildizi bulsa, bu ildizga mos bo‘lgan (2) sistemaning yechimlari
(11)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Bunda lar _{ } ga nisbatan darajasi dan katta bo‘lmagan ko‘pxadlilardir. Bu ko‘pxadlilarning har birida _{ }ta o‘zgarmas sonlar qatnashadi. Bu ko‘pxadlilarning hammasidagi hamma koeffisiyentlardan _{ } tasi ixtiyoriy bo‘lib, qolgan koeffisiyentlar shu _{ } ta koeffisiyentlar orqali ifodalanadi.Xususiy holda ko‘pxadlilar o‘zgarmas songa teng bo‘lishi mumkin. Bu holda harakteristik ildizga mos bo‘lgan (2) sistemaning yechimi

bo‘ladi.
Bundagi sonlardan k tasi ixtiyoriy bo‘lib, qolgan koeffisiyentlar ular orqali ifodalanadi.
Amaliyotda ko‘pxadlilarning koeffisiyentlarini topish uchun, ularni berilgan (2) sistemaga kuyib, bu ko‘pxadlalarning koeffisiyentlariga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bulamiz. Bu koeffisiyentlardan k tasini ixtiyoriy deb, qolgan koeffisiyentlarni ular orqali ifodasini topamiz.
3-misol


bularni berilgan tenglama kuyib, aniqmas koeffisiyentlar metodidan foydalansak larga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bulamiz.

bulardan

yechimlar

xususiy yechimlarni topish
1)
2)
3)
Agarda desak,

Xulosa.

Differensial tenglamalar hozirgi zamonaviy texnika asrida eng asosiy vazifani bajarib kelmoqda. Bunga misol qilib kampyuter texnikasidagi rivojlanishlar, tibbiyot sohasidagi yangilik va ilmiy izlanishlar, ekalogiya va atrof muhitni qanchalik tez o‘zgarib borishi, yulduzlar harakatidan tortib yer sharida bo‘layotgan o‘zgarishlar, texnika va mexanika sohasi, qurilish va binokorlikdagi yangiliklar, bino inshoatlarini qanchalik texnik va texnogen halokatlarga, zilzilalarga bardosh bera olishi haqida, o‘simliklar olamida qanday o‘zgarishlar bo‘layotganlilgi va oqibati, inson omlili bilan sodir bo‘ladigan ba’zi hodisalar, suv ostida bo‘layotgan o‘zgarishlar va suv osti trik organizmlarini hayot kechirishi, quruqlikdagi hayvonlarni ko‘payishi, omon qolishi va saqlab qolinishi, o‘simliklar, daraxtlar qushlarning ko‘payishi yoki nobud bo‘lishi shu kabi va yana bir qancha sanab o‘tilmagan sohalarda ma’lumotlarni tahlil etish va qayta ishlash uchun kata yo‘l ochib beradi.

Ushbu kurs ishi kirish, ikkita bob, masalalar yechish na’munalari, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan ro‘yhatidan tashlik topgan.
Kurs ishining birinchi bobida oddiy differensial tenglamalar sistemasi, differensial sistemalarning normal sistemasi, umumiy tushunchalar, Koshi masalasining qo‘yilishi haqida ma’lumotlar berilgan.
Kurs ishining ikkinchi bobida normal sistema uchun mavjudlik va yagonalik teoremalari, Koshi teoremasi, Koshi – Pikar – Lindelyof teoremasi, ularning yechimlari to‘g‘risida tushuncha berib o‘tilgan. Yuqoridagi nazariy ma’lumotlarni mustahkamlash maqsadida masala yechish na’munalari ham keltirib o‘tilgan.

Foydalanilgan adabiyotlar.

1. 
   Morris Tenebout, Harry Pollard. Ordinary Differential Equations. Birkhhauzer. Germany, 2010.
   
2. 
   Robinson J.C. An Introduction to Ordinary Differential Equations. Cambridge University Press 2013.
   
3. 
   Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.M. КомКнига/ URSS 2006.-472c.
   
4. 
   Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения ивариационноеисчиление.M. КомКнига/ URSS 2006.-312c
   
5. 
   Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Издательство РХД. 2000. 175 с.
   
6. 
   Мирзиёев Ш. М. Танқидий таҳлил, қатъий тартиб-интизом ва шахсий жавобгарлик – ҳар бир раҳбар фаолиятининг кундалик қоидаси бўлиши керак. Мамлакатимизни 2016 йилда ижтимоий-иқтисодий ривожлантиришнинг асосий якунлари ва 2017 йилга мўлжалланган иқтисодий дастурнинг энг муҳим устувор йўналишларига бағишланган Вазирлар Маҳкамасининг кенгайтирилганмажлисидаги маъруза, 2017 йил 14 январ –Тошкент, Ўзбекистон, 2017. 104-б.
   
7. 
   Мирзиёев Ш. М. Қонун устуворлиги ва инсон манфаатларини таъминлаш-юрт тараққиёти ва халқ фаровонлигининг гарови. Ўзбекистон Республикаси Конституцияси қабул қилинганининг 24 йиллигига бағишланган тантанали маросимдаги маъруза. 2016 йил 7 декабрь- Тошкент, Ўзбекистон, 2017. 48-б.
   
8. 
   Салоҳиддинов М.С. Насриддинов Г. Оддий дифференциал тенгламалар. Тошкент. Ўқитувчи, 1994
   

Foydalanilgan internet saytlar.

1. 
   www.lib.homelinex.org/math
   
2. 
   www.eknigu.com/lib/Mathematics/