|
2.1.3. Tekis masalani ko‘phadlar yordamida yechish.
Tekis masalani kuchlanishlar funksiasi yordamida yechishda har xil analitik va sonli usullardan foydalaniladi. Bunday usullarga algebraik ko‘phadlar yoki trigonametrik qatorlardan foydalangan holda yarim teskari usul bilan yechish usuli, kompleks o‘zgaruvchili funksiyalar usuli, chekli ayirmalar usuli, chekli elementlar usuli va boshqa usullarni misol qilib keltirish mumkin.
Quyida har xil darajali butun algebraik ko‘phadlardan foydalanib tekis masalani yarimteskari usul bilan yechilishini qarab chiqamiz. Usulning mohiyati shundan iboratki, kuchlanishlar funksiasi (bundan keyin bu funksiyani kabi belgilaymiz) ko‘phad ko‘rinishida beriladi va uning koeffitsientlari shunday tanlanadiki, bunda (18) bigarmonik tenglama va (20) chegaraviy shartlar qanoatlantirilsin.
Har xil darajali ko‘phadlar yordamida qanday masalalarni yechish mumkin ekanligini aniqlaymiz. Bunda massaviy kuchlarni nolga teng deb hisoblaymiz. Bigarmonik tenglamaning tartibi to‘rtga teng bo‘lganligi uchun, bu tenglamani darajasi to‘rtdan kam bo‘lgan ko‘phadlar, koeffitsientlarining istalgan qiymatlarida, aynan qanoatlantiradi va bigarmonik funksiyalar bo‘ladi.
10. Birinchi darajali
ko‘phad hech qanday qiziqish uyg‘otmaydi, chunki uni (14) formulalarga qo‘yganda faqat nolga teng kuchlanishlarnigina beradi.
20. Ikkinchi darajali ko‘phadni qaraymiz:
(46)
bu yerda koessisiyentlarning kasr qiymatlati kuchlanishlar uchun ifodalarning soddaroq ko‘rinishlarini keltirib chiqarish uchun olingan
Ko‘phadning qabul qilingan (46) ko‘rinishi asosida (14) formulalar bo‘yicha kuchlanishlarni aniqlaymiz:
(47)
Bundan ko‘rinadiki, kuchlanishlar jismning hamma nuqtalarida bir xil bo‘ladi. Bunday holat bir jinsli kuchlanganlik holati (II bob) deyiladi. Bunday kuchlanganlik holati chetlari tekis taqsimlangan normal va urinma kuchlar bilan yuklangan plastinada yuzaga keladi (7.4-chizma). Plastina qalinligi birga teng deb qabul qilingan. Bu holda ko‘phadning koeffisientlari
.
Xususiy holda, agar bo‘lsa, plastinani
o‘qi boylab bir tekis cho‘zish sodir bo‘ladi.
Agar, bo‘lsa, plastinada sof siljish kuch-
langanlik holati o‘rinli bo‘ladi.
30. Uchinchi darajali ko‘phadni qaraymiz:
(48)
Bu holda kuchlanishlar quyidagi ko‘rinishni oladi
(49)
Faraz qilaylik, bo‘lsin. U holda (49) dan
Bu yerdan ko‘rinadiki, plastinaning o‘qiga normal
hamma kesimlaridagi (5-chizma) kuchlanishlar
chiziqli qonun bo‘yicha o‘zgaradi va o‘qi ustida ular
nolga teng bo‘ladi. Materiallar qarshiligi kursidan ma’-
lumki, bunday kuchlanganlik holati sof egilishda yuzaga keladi va kuchlanish ifodasini quyidagicha yozish mumkin:
bu yerda - eguvchi moment, o‘qiga normal kesimning inersiya momenti.
Plastinaning hamma kesimlarida sof egilish kuchlanganlik holatini yuzaga keltirish uchun, plastina chetlari bo‘ylab taqsimlangan yuklar yordamida amalga oshiriladigan momentlar qo‘yilishi zarur
Ammo, Sen -Venan prinsipiga asosan, uzun polosa shaklidagi plastina uchun, uning chetlariga momentlarni alohida qo‘yish usuli faqatgina chetki kesimlarga yaqin turgan kesimlardagina sezilarli bo‘ladi.
Agar vertikal bo‘yicha cho‘zilgan polosa uchun
(6-chizma), ikkinchi va uchunchi darajali ko‘phad-
larning faqat bittadan hadlari olinsa,
(50)
polosaning markaziy bo‘l-magan cho‘zilishidagi
kuchlanganlik holatiga ega bo‘lamiz:
(51)
Chetki tolalarda kuchlanishlar eng katta va eng kichik qiymatlarga ega bo‘ladi
bu yerda orqali eng katta , orqali esa eng kichik kuchlanishlar belgilangan .
Ushbu formulalardagi va o‘zgarmaslarni N-bo‘ylama kuch , e - ekssentrisitet hamda ko‘ndalang kesimning geometrik xarakteristikalari - - yuza va - inersiya momentlari orqali ifodalash mumkin:
U holda kuchlanishlar uchun (51) formula
ko‘rinishni oladi .
40. To‘rtinchi darajali ko‘phadni qaraymiz :
(52)
Bu holda kuchlanishlar funksiasining to‘rtinchi tartibli hosilalari nolga teng bo‘lmaganligi uchun (18) bigarmonik tenglama ko‘phad koeffisientlarining ixtiyoriy qiymatlarida aynan qanoatlantirilmaydi:
Hosilalarning bu qiymatlarini (18) qo‘yib,
munosobatga ega bolamiz.
Shunday qilib, ko‘phadning beshta koeffisientidan faqat to‘rttasigina o‘zaro bog‘lanmagan bo‘ladi. Oxirgi tenglik yordamida e4 koeffisientni chiqarib tashlab, kuchlanishlar funksiyasining quyidagi ifodasiga ega bo‘lamiz:
(53)
Endi bu ko‘phad bigarmonik tenglamani qanoatlantiradi. Kuchlanishlar ifodasi quyidagicha:
(54)
50. Xuddi 40 holdagidek koeffisientlarining ixtiyoriy qiymatlarida (18) bigarmonik tenglamani aynan qanoatlantiruvchi beshinchi darajali ko‘phadni ham topish mumkin. Uning ko‘rinishini isbotsiz keltiramiz:
(55)
Bu holda kuchlanishlar ifodalari:
(56)
Masalalarni yechishda kerakli kombinatsiyani yuqorida qaralgan masalalar natijalariga asoslanib, har xil darajali ko‘phadlarning alohida hadlaridan tuzish mumkin. Ba’zi hollarda esa masaladagi simmetriya shartlari ham yordam beradi.
Quyida ushbu paragrafda chiqarilgan formulalar asosida masalalar yechishga bir nechta misollar keltiriladi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
