|
2.2.2. Konkret masalalarni yechishga misollar.
10. Simmetrik ponaning uchiga qo‘yilgan kuch bilan siqilishi. Qalinligi va yoyilish burchagi bo‘lgan va uchiga simmetria o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan kuch bilan yuklangan tekis ponani qaraymiz. Ponaning o‘ng chetida mahkamlanish sohasidagi kuchlangan deformatsialangan holatni qaramaslik uchun, ponani o‘qi bo‘ylab chegaralanmagan holda davom etgan deb hisoblaymiz.
Ponaning yon yoqlari yuklanmaganliklari sababli bu yoqlardagi chegaraviy shartlar quyidagicha yoziladi.
(19)
(20)
Kuchlanishlarni (18) bo‘yicha hisoblaymiz
Ushbu formulalardan ko‘rinadiki, ponaning hamma nuqtalarida tenglik o‘rinli bo‘lganliklari sababli (19) chegaraviy shartlar avtomatik tarzda bajariladi.
Kuchlanishlar funksiyasi tarkibidagi o‘zgarmas ponadan kesilgan radiusli silindrik sirtning muvozanat shartlaridan (6.-chizma) topiladi:
Bu yerdan
u holda (21) yechim quyidagi ko‘rinishni oladi
(22)
Agar kuchi pona uchida kichik radiusli silindrik sirtda (22) qonun bo‘yicha taqsimlangan kuchlarning teng ta’sir etuvchisi bo‘lsa, olingan yechim masalaning aniq yechimidan iborat bo‘ladi.
Kuchlanish tenzorining Dekart koordinatalari sistemasidagi komponentalarini topish uchun (2) va (8) formulalardan foydalanamiz va
(23)
belgilashni kiritamiz. Endi (22) va (23) ifodalarni (8) ga qo‘yib
(24)
bu yerda
Yuqoridagi (6,b-chizmada) yoyilish burchagi bo‘lgan pona uchun radiusli silindrik kesimdagi kuchlanishlarning va kesimdagi va kuchlanishlarning epyuralari keltirilgan. Bu epyuralardan ko‘rinadiki, normal kuchlanish ko‘ndalang kesim bo‘ylab tekis taqsimlanmaydi. Eng katta kuchlanish kesimning markazida yuzaga keladi va bo‘lgandagi o‘rtacha kuchlanishdan 4,3% katta bo‘ladi. Qaralgan masala Michell masalasi deb yuritiladi.
20. Ponaning uchiga qo‘yilgan kuch ta’siridagi egilishi. Ponani eguvchi (8.7-chizma) ponaning simmetriya o‘qiga nisbatan qiyshiqsimmetrik yuklamadan iborat. Shuning uchun kuchlanishlar funksiyasini ga nisbatan toq qilib
(25)
ko‘rinishda qabul qilamiz.
Bu funksiyaga quyidagi kuchlanishlar mos keladi.
Kuchlanishlar bunday bo‘lganda pona yoqlaridagi chegaraviy shartlar bajariladi.
Noma’lum o‘zgarmas - pona kesilgan qismining muvozanat shartlaridan topiladi (7.b - chizma):
bundan
va demak
(26)
Quyidagi belgilashni kiritamiz:
u holda kuchlanishlar tenzorining Dekart koordina-talaridagi komponentalari uchun
(27)
ifodalarga ega bo‘lamiz, bu yerda .
Yuqoridagi 7.-chizmalarda yoyilish burchagi bo‘lgan pona uchun radiusli silindrik kesimdagi kuchlanishlar va kesimdagi va kuchlanishlarning epyuralari keltirilgan. Eng katta urinma kuchlanish - kesimning chetki nuqtalarida yuzaga keladi va elementar nazariya bo‘yicha balka ko‘ndalang kesimi og‘irlik markazidagi kuchlanishlardan deyarli ikki barobar katta bo‘ladi. Va aksincha, elementar nazariya bo‘yicha hisoblangan eng katta normal kuchlanish, (27) formula bo‘yicha hisoblangan kuchlanishga nisbatan biroz katta bo‘ladi.
Bu masalaning yechimi ham 1902 yilda Michell tomonidan olingan. Bu yechim masalaning aniq yechimidan iborat bo‘ladi, agar pona o‘zining mahkamlangan uchida (26) qonun bo‘yicha taqsimlangan yuklama ta’siri ostida bo‘lsa. Bu shart bajarilmagan holda yechim faqat ponaning mahkamlangan uchidan yetarli darajadagi uzoqlikda joylashgan kesimlari uchun aniq yechimdan iborat bo‘ladi.
Olingan (22) va (26) yechimlar asosida pona tekisligida uning uchiga ixtiyoriy yo‘nalishda qo‘yilgan kuchi uchun masalaning yechimini olish mumkin.
30. Ponaning uchiga qo‘yilgan moment ta’siridagi egilishi (Inglis masalasi). Bu safar ham Eri funksiyasini toq qilib qabul qilamiz:
(28)
Bu funksiyaga quyidagi kuchlanishlar mos keladi
,
(29)
ushbu
chegaraviy shartdan
topiladi. Ikkinchi o‘zgarmas ponaning kesilgan qismi (8-chizma) muvozanat shartidan topiladi
bundan
va
O‘zgarmaslarning topilgan qiymatlarini (29) ga qo‘yamiz
(30)
Inglis tomonidan olingan bu yechim aniq bo‘ladi, agar ponaning mahkamlangan uchiga va uning uchidagi kichik radiusli silindrik sirtga (30) qonun bo‘yicha taqsimlangan kuchlar qo‘yilgan bo‘lsa. Bu kuchlar qarama-qarshi yo‘nalgan momentlarga keltiriladi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
