Amaliy matematika va infarmatika

(10)

Jism uchlaridagi chegaraviy shartlar ularning mahkamlanishlari jism uchlari va ko‘ndalang kesimlarida kuchlanishlarning yuzaga kelishiga olib keladi. Xuddi ana shu kuchlanishlarning mavjudligi jismning tekis deformatsiya holatining asosiy sababchisidir.

Jism uchlaridagi zo‘riqishlar umumiy holda bo‘ylama kuchga

(11)

hamda va bosh markasiy o‘qlarga nisbatan momentlarga

(12)

keltiriladi.

Tekis deformatsia haqidagi kuchlanishlardagi masalani yechish va funksialarni aniqlashga keltiriladi. Ushbu funksialar (9) muvozanat tenglamalari, chegaraviy shartlar va uzviylik tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak.

Bir jinsli muvozanat tenglamalarini qaraymiz:

(13)

ya’ni massaviy kuchlarni nolga teng deb hisoblaymiz. To‘g‘ridan-to‘g‘ri o‘rniga qo‘yish yo‘li bilan, agar

, (14)

deb qabul qilinsa, muvozanat tenglamalarining qanoatlantirilishini topish mumkin. Kiritilgan funksia kuchlanishlar funksiyasi yoki Eri funksiasi deb ataladi.

Kiritilgan (14) funksiyalarni (8) ga qo‘yamiz:

u holda

(16)

Olingan (16) tenglikni Beltrami tenglamalariga qo‘yib quyidagi uchta munosabatga ega bo‘lamiz

(17)

Beltrami tenglamalaridan oxirgi uchtasi aynan qanoatlantiriladi. Bu yerda

bo‘lganligi uchun (17) ning har uchala tenglamasi bitta

tenglamaga keltiriladi. Demak,

(18)

Ushbu (18) tenglama bigarmonik tenglama deb, uni qanoatlantiruvchi funksiya esa – bigarmonik funksiya deb ataladi.

Yuqorida ko‘ndalang kesim chegarasini (konturini) L bilan belgiladik. Shuni hisobga olsak kesim chetidagi ixtiyoriy nuqta uchun yo‘naltiruvchi kosinuslar

va (19)

kabi aniqlanadi. Endi (14) va (19) larni (10) chegaraviy shartlarga qo‘yib, konturda kuchlanish funksiyasi uchun chegaraviy shartlarni keltirib chiqaramiz:

yoki bu tengliklarni chiziq bo‘yicha hosila ko‘rinishida soddaroq ko‘rinishda yozish mumkin:

(20)

Shunday qilib, tekis deformatsia haqidagi masala jism ko‘ndalang kesimining konturida (20) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi bigarmonik kuchlanishlar funksiyasini aniqlashga keltiriladi.