Amaliy matematika” kafedrasi “Differensial tenglamalar va matematik fizika” fanidan kurs ishi

Elementar yechimlar. (2.1.2) tenglamaga mos bo’lgan
(2.2.10)
bir jinsli tenglamani karaymiz.
D sohada (2.2.8) shart bajarilgan deb hisoblaymiz va bu sohaning ixtiyoriy nuqtasini orqali belgilab olamiz. D sohadan markazi nuqtada bo’lgan yetarli kichik radiusli doirani chiqarib tashlab, D sohaning qolgan qismini bilan belgilaymiz. Avvalgi banddagi muloxhazalarni qaytarib sohada (2.2.10) tenglamaning yechimini
(2.2.11)
formula yordamida tuzamiz, bu yerda ushbu
(2.2.12)
tenglamaning yechimidan iborat. (2.2.12) tenglamaning yadrosi (2.2.2) formula bilan aniqlanadi, ung tomoni esa

(2.2.12) tenglamaning yechimi, ko’rinib turibdiki da

tenglamaning yechimiga tekis intiladi. (141) tenglikdan da limitga utib,

funksiyani hosil qilamiz.
Bu funksiya
a) bulganda D sohada (2.2.10) tenglamaning regulyar yechimidan iborat;
b) nuqta atrofida

baholar o’rinli bo’ladi, bu yerda R — D sohaning diametri.
a), b) xossalarga ega bo’lgan yechimlar odatda fundamental yoki elementar yechimlar deb ataladi. Agar (2.2.10) tenglamaning a,b,c koeffitsentlari sinfga tegishli bo’lsa, bu tenglamaning elementar yechimlari hech bo’lmaganda, kichik D sohalar uchun mavjud bo’ladi.
Garmonik funksiyalar nazariyasiga uxshash, bu yerda ham, umumlashgan oddiy va ikkilangan qatlam potensiallari tushunchasini kiritib, ular yordamida (2.2.10) tenglama uchun Dirixle va Nyeyman masalalarini Fredgolmning ikkinchi turdagi integral tenglamalariga keltirish mumkin. Yuqorida bayon qilingan ekstremum prinsipi va parametriks usuli bo’lgan holda, ya’ni

ko'rinishdagi tenglamalar uchun ham o’z kuchini saqlab qoladi.