Amaliy matematika” kafedrasi “Differensial tenglamalar va matematik fizika” fanidan kurs ishi

2. Ikkinchi tartibli chiziqli elliptik tenglama yechimining mavjudligi.
( 2.2.2) tenglamaning a,b,c koeffitsiyentlari va ozod xadi analitik funksiyalar bulgan xolda bu tenglamaning kichik D soxalar uchun yechimga ega bulishi Koshi — Kovalyevskaya teoryemasidan kelib chiqadi .Ammo ular analitik funktsiyalar bulmasa, (2.2.2) tenglama yechimining mavjudligini kursatish uchun boshqa usullarni qo’llash ga tug’ri keladi. a, b,c va f funktsiyalarni
sinf ga tegishli bulsin deb xisoblaymiz. Biz parametriks deb ataluvchi

funktsiyani tekshiramiz. Ma’lumki , xar bir juft (x,y), nuqtalarga nisbatan da bu f unktsiya Laplas tenglamasining yechimidan iborat buladi, shu bilan birga

Xajm potentsiali zichlik sinfga tegishli bulganda,
(2.2.1)
Puason tenglamasining yechimidan iborat bo’ladi.

Endi funksiyani shunday tanlab olishga xarakat qilamizki,

(2.2.2)
funksiya ( 2.1.2) tenglamaning yechimi bo’lsin , bu yerda sinfga tegishli ixtiyoriy funksiyadir. (2.2.2) ifodani (2.1.2) tenglamaga olib borib qo’yamiz (2.2.1) tenglikka asosan,

Bunga binoan, Lu operator qo’dagi kurinishda yoziladi:

Agar biz qisqalik uchun ushbu
(2.2.3)
(2.2.4)
belgilashlarni kiritsak, funksiyani aniqlash uchun
(2.2.5)
integral tenglamani xosil qilamiz. Bu integral tenglamaning (2.2.3) yadrosi bo’lganda ko’rinishdagi maxsuslikka ega, demak, uning kvadrati D soxada integrallanuvchi bo’lmaydi. Shu tufayli (2.2.5) integral tenglamaga bevosita Fredgolm nazariyasini qullash mumkin emas. Ammo, integratsiyalangan yadro
(2.2.6)
bu sohada kvadrati bilan integrallanuvchi bo'ladi. Shuning uchun (2.2.6) integral tenglama o’rniga avval integrasiyalangan
(2.2.7)
integral tenglamani tekshiramiz, bu yerda
(2.2.8)
va funksiyalarga qo’yilgan shartlarga asosan (2.2.8) tenglikdan funksiyani sinfga tegishli bulishi kelib chikddi. Agar D kichik soxa bulsa, ya’ni
(2.2.8)
shart bajarilsa, (2.2.6) integral tenglamaga mos bulgan bir jinsli tenglama faqat trivial, ya’ni nolga teng bulgan yechimga ega bo’ladi.
Demak , (2.2.6) tenglama xamma vaqt ) sinfga tegishli bulgan yagona yechimga ega buladi. (2.2.4 ) tenglamaning xar bir yechimi (2.2.4) tenglamaning xam yechimi bo’ladi. Lekin (2.2.8) shart bajarilganda, biz ko’rdikki, (2.2.6) tenglama yagona yechimga ega. yordamida yangi
(2.2.9)
funksiyani xosil qilamiz. Agar biz barcha D soxada ekanligini ko’rsatsak, shu bilan birga (2.2.4) tenglamaning yechimi bo’lishi isbotlangan bo’ladi. Shu maqsadda (2.2.6) tenglamani (2.2.5) ga asosan

yoki (2.2.9) ga binoan,

ko’rinishda yozib olamiz. Bu ifodani ga kupaytirib, sungra integrallab, qo’yidagi tenglikni xosil qilamiz:




(137) va (139) tengliklarga asosan



yoki

tenglamaga ega bo’lamiz, ya’ni (2.2.6) tenglamaning yechimidan iborat. Shunday qilib, bu tenglama yagona yechimga ega bo’lgani uchun ekanligi kelib chiqddi. Ammo uchun (2.2.9) tenglik (2.2.4) integral tenglama bilan ustma-ust tushadi. (2.2.4) tenglamaning yechimini (2.2.1 ) formulaga qo’yib, D sohada (2.2.2) tenglamaning ixtiyoriy funksiyaga bog’liq bo’lgan yechimlari oilasiga ega bulamiz.
Shunday qilib, (2.2.8) shartni qanoatlantiruvchi D sohada koeffsientlari sinfiga tegishli bulgan (2.1.2) tenglamaning xamma vaqt yechimga ega bulishi isbotlandi.