Amaliy matematika” kafedrasi “Differensial tenglamalar va matematik fizika” fanidan kurs ishi

II BOB IKKINCHI TARTIBLI ELLIPTIK TIPDAGI CHIZIQLI TENGLAMALAR UMUMIY NAZARYASIDAN AYRIM MA’LUMOTLAR

Biz bu paragrafda ikkinchi tartibli ikki o’zgaruvchili chiziqli elliptik tenglamalar nazaryasidan ayrim tushunchalarni keltiramiz.Soddalik uchun tenglama chegarasi S egri chiziqdan iborat D soxada kanonik ko’rinishga keltirilgan deb xisoblaymiz. Agar erkli o’zgaruvchilarni x va y orqali belgilasak, tenglama ushbu

(2.1)
Ko’rinishda yoziladi,bu yerda

2.1.Chegaraviy masalalarning qo’yilishi.

S da berilgan xaqiqiy funksiyalar bo’lsin. (2.1) tenglama uchun qo’yiladigon bir qator chegaraviy masalalarni Puankerening ushbu chiziqli masalasi o’z ichiga oladi : D soxada (2.1)tenglamaning
(2.1.2)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi deganda bu funksiyalarni D ichidan turib S dagi limit qiymatlari tushuniladi.
bo’lgan holda ( ) chegaraviy shart

ko’rinishda yoziladi, bunda .
()() masala birinchi chegaraviy masala yoki Dirixle masalasi deyiladi.
Puankare masalasining bo’lgan holi, ya’ni

qiya hosilali masala deyiladi.
Ekstremum prinsipi.Dirixle masalasi echimining yagonali.Bizga ma’lumki, Dirixle masalasi Laplas tenglamasi uchun, yangi garmonik funksiyalar uchun bittandan ortiq yechimga ega bo’lmaydi. (2.1.2) tenglama uchun ham shunday yagonalik teoremasi o’rinli bo’ladimi yoki yo’qmi degan savol tug’iladi.Bu savol har doim ham ijobiy javobga ega bo’lavermaydi.
Shu maqsadda ushbu
(2.1.3)
Tenglamani tekshiramiz, bunda -o’zgarmas son.
(2.1.3) tenglamaning yechimini o’zgaruvchilarni ajratish usuli bilan,ya’ni

Ko’rinishda qidiramiz. Bunga asosan (2.1.3) tenglamadan

Tengliklarni hosil qilamiz Bu yerda o’zgarmas biror musbat sondan iborat bo’lib , bo’lsin deb , hisoblaymiz . Avvalgi tengliklardan

Tenglamalarni hosil qilamiz. Bu tenglamalarni integrallab , quydagilarga ega bo’lamiz :

Bundan darhol (2.1.3) tenglama noldan farqli bo’lgan boshqa yechimlari orasida

(2.1.4)
Yechimga ham ega bo’ladi. Bu yechim

To’rtburchakning chegarasida nolga teng .
Demak (2.1.3) tenglamaning (2.1.4) yechimga yuqoridagi To’rtburchakning chegarasida nolga teng bo’lsa ham, To’rtburchakning ichida no’ldan farqlidir .
Ekstremum prinsipi . Agar barcha D sohada tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda D sohada
(2.1.5)
Tenglamaning regulyar yechimi xech bir nuqtada o’zining musbat maksimumiga erishmaydi .
Avvalo bo’lsin yechim D nuqtada musbat maksimumiga erishga erishsin deb faraz qilamiz . U holda , bu nuqtada
(2.1.6)

Bundan

Demak, tekshirilayotgannuqtada Lu<0. Bu esa (2.2.4) tenglamaga qarama –qarshi.
Xuddi shunday,(x,y) D nuqtada u(x,y) yechimning manfiy minimumiga erishmasligi ko’rsatiladi. Endi c 0 bo’lgan xolni ko’ramiz. Bu xolda u(x,y) funksiya o’rniga


(2.2.7)
Almashtirish yordamida yangi funksiya kiritamiz. Bunda A,a-keyinchalik
Mos ravishda olinadigan musbat sonlardir.(2.2.6)tenglamaga u(x,y) o’rniga (2.2.7)
Ifodani olib borib qo’yganimizdan so’ng,v(x,y)ga nisbatan (2.2.6)ga o’xshash



Tenglama xosil bo’ladi ,bu yerda


ni yetarlicha katta qilib tanlab olamizki , D soxada tensizlik o’rinli bo’lsin va A uchun funksiyaning D dagi yuqori chegarasidan katta bo’lgan qiymatni olsak ,A- >0 tengsizlik bajariladi. U xolda bo’lgani sababli , <0 tengsizlik bajariladi .Shu bilan ekstremum prinsipi isbot bo’ladi .
Bu prinsipdan (2.1.1),(2.1.3) dirixli masalasi yechimining yagonaligi darxol kelib chiqadi.
Xaqiqatdan xam , bu masalaning ikkita yechimi bor bo’lsin.U xolda ayrima (128) ning yechimi bor bo’lsin, D soxaning chegarasi S
da nolga teng buladi.
Agar v funktsiya D ning ichida nolga teng bulm asa, u D ning ichida musbat yoki manf iy qiymatlarni qabul qiladi .
Demak , v funktsiya D da uzluksi z bulganligi uchun biror (x,u) D nuqtada musbat maksimum yoki manfiy minimumga erishadi. Bu esa bulganda ekstremum printsipiga karama-qarshidir. Bu shart bajarilganda nuqtada v(x,y) = 0 , ya’ni
Shunday qilib, (2.2.1), (2.2.4) masalaning birdan bir yechimga ega bulishi uchun ( 2.2.2) tenglama s(x,u) koeffitsiyentining ishorasi muxim axamiyatga ega.