Amaliy matematika” kafedrasi “Differensial tenglamalar va matematik fizika” fanidan kurs ishi

Kurs ishining dolzarbligi: Eliptik tipdagi tenglamalrni ahamiyati shundan iboratki, ular yordamida eliptik tipdagi integral, differensial, integro-differensial va xususiy hosilali differensial tenglamalar yechimarining mavjudligi va yagonaligi, bohlang’ich shartlar va parametrlarda uzluksiz bog’liqligi, turg’unligi va boshqa ko’plab xossalarini o’rganishda juda qulay apparat bo’lib xizmat qiladi
Kurs ishining maqsadi: Ushbu kurs ishi ikkinchi tartibli eliptik tipdagi chiziqli tenglamalar. Kurs ishida masalalar qisqacha bayon etilib, turli usullar bilan yechishga e’tibor qaratilgan.
Kurs ishining obyekti va predmeti: ikkinchi tartibli eliptik tipdagi chiziqli tenglamalar yechim differensial va integral tenglamalari hisoblash usullari o’rganiladi. Usullar bir qancha misollarda ko’rsatiladi va misollarni yechish algoritmi ko’rsatiladi. ikkinchi tartibli eliptik tipdagi chiziqli tenglamalar yechim tadqiqot obyektidir. Ushbu kurs ishida . ikkinchi tartibli eliptik tipdagi chiziqli tenglamalar yechish masalasi qaraladi.
Kurs ishining tarkibi va hajmi: Kurs ishi kirish qismi, 2 ta bob 24bet, xulosa va adabiyotlar ro’yxatidan iborat bo’lib, betda bayon qilingan.

I BOB ELLIPTIK TIPDAGI TENGLAMALAR

1.1-§. Elliptik tenglamalar haqida umumiy ma’lumotlar

Elliptik tipdagi tenglamalarga asosan statsionar liolatdagi, ya’ni vaqt o'tislii bilan o'zgarmaydigan fizik jarayonlarni o'rganish masalalari keltiriladi. Eng sodda elliptik tipdagi tenglama sifatida

Laplas tenglamasini qaravmiz. Bu tenglama yechimining asosiy xossalari erkli o'zgaruvchilar soni n ga bog'liq emas.

Shuning uchun qo'llanmada n — 2 bo'lgan holni qaraymiz, zarur joylaxda
n > 2 bo'lganda asosiy ta'rif va tushunchalarning farqini tushuntirib o'tamiz.


(1.1.1)

chiziqli xususiy hosilali differensial tenglamani qaraylik. Bu yerda , , c(x) tenglamaning koeffitsiyent.lari, esa uning ozod hadi deyiladi.

Agar (1) tenglamada bo'lsa, u holda berilgan tenglama bir jinsli. aks holda bir jinsli bo'lmagan tenglam > deyiladi. D sohadan biror ixtiyoriy xo nuqta olamiz va bu nuqtada (1,1,1) tenglamaga mos ushbu
(1.1.2)

kvadratik forma tuzamiz, ) haqiqiy o‘zgaruvchilar.

1—TA’RIF. Agar (1.2.2) kvadratik formaning ishorasi nuqtada musbat yoki manfiy aniqlangan boisa. u holda (1.1.1) tenglama shu nuqtada elliptik tipdagi tenglama deyiladi.
Agar D sohaning har bir nuqtasida (1) tenglama elliptik boisa, u holda bu tenglama D sohada elliptik tenglama deyiladi.
2 -T A ’RIF. Agar noldan farqli boigan bir xil ishorali haqiqiy sonlar mavjud boiib, barcha nuqtalar uchun


(1.1.3)

tengsizlik bajarilsa, u holda (1.1.1) tenglama D sohada tekis elliptik tenglama deyiladi.

Qaralayotgan tenglamaning tekis elliptikligi oddiy elliptiklik shartiga qaraganda umumiyroq, chunki tekis elliptik bolishidan qaralayotgan tenglamaning elliptik tenglama ekanligi kelib chiqadi, aksinchasi noto'g'ri.
1-MISOL. Ushbu


(1.1.4)

Laplas tenglamasini qaraylik. Bunda , agar boisa va , agar i = j boisa. U holda (1.1.4) tenglamaga mos kvadratik forma

(1.1.5)

boiadi. Demak, (1.1.4) tenglama butun Rn fazoda elliptik tipga tegishli, chunki (1.1.5) kvadratik forma boiganda musbat aniqlangan. Laplas tenglamasining Rn fazoda tekis elliptik tipga tegishli bolishi (1.1.3) tengsizlikdan kelib chiqadi.

Bunda deb tanlab olish kifoya.
2 -misol. xOy tekislikdagi biror sohada quyidagi ikkinchi tartibli xususiy hosilali
(1.1.6)

differensial tenglamani qaraylik.

Bu tenglamaga mos kvadratik forma


(1.1.7)

ko‘rinishda bo‘ladi.

Agar , bo‘lsa, u holda (1.1.7) kvadratik formaning ishorasi aniqlangan bo'ladi va D sohaning < 0 bo‘lgan barcha nuqtalarida (1.1.6) tenglama elliptik tipdagi tenglama deyiladi.
3—MISOL. Quyidagi

tenglama Trikomi tenglamasi deyiladi. Bu tenglama у > 0 da elliptik tipga tegishli bo'ladi, chunki Lekin qaralayotgan D sohada Trikomi tenglamasi tekis elliptik tenglama bo'lmaydi.