Alisher navoiy nomidagi

quyidagicha yozish mumkin: 

i

nr

i

nr

i

e

e

e

re

ϕ

ϕ

ϕ

α

+

=

=

=

l

l

 

bu esa kompleks sonning natural logarifmini 

ϕ

α

i

r

n

n

+

=

l

l

 formula yordamida 

aniqlash  tabiiy  bo’lishini  ko’rsatadi,  ya’ni  kompleks  son  logarifmining  haqiqiy 

qismi  esa  uning  argumentidan  iborat.  Bunday  kiritilgan  logarifmik  funksiya 

noldan  farqli  barcha  kompleks  sonlar  to’plamida  aniqlangan.  Shuni  ta’kidlash 

kerakki,  kompleks  sonning  argumenti  ko’p  qiymatli  bo’lganligi  sababli 

logarifmik  funksiya  ham  ko’p  qiymatlidir.  Xususiy  holda,  logarifmning  – 

ko’paytmaning  logarifmi  logarifmlar  ko’paytmasiga  teng  –  degan  xossasi  faqat 

ko’pqiymatlilikni hisobga olgan holda to’g’ri.  

 

1-m  i  s  o  l. 

1

ln

  ning  qiymatlaridan  biri  0  ga  teng, 

ln

(-1)  ning 

qiymatlaridan  biri  esa 

i

π

  dan  iborat,  chunki 

i

e

in

s

i

s

co

π

π

π

=

+

=

−

1

.  Lekin 

ln

( )( )

[

]

i

i

i

π

π

π

2

1

1

=

+

=

−

−

.  Bu 

1

n

l

  ning  0  dan  farqli  qiymatlaridan  biridir 

(chunki 

πκ

πκ

2

2

1

in

s

i

s

co

+

=

). ■ 

 

α

  –  noldan  farqli  kompleks  son  bo’lsin.  U  holda 

α

n

l

  ning  istalgan 

qiymati  uchun 

α

α

n

l

e

=

  bo’ladi.  Shuning  uchun  ta’rif  bo’yicha 

α

β

β

α

n

l

e

=

  deb 

hisoblash tabiiydir. Bu ham ln

α

 ning ko’pqiymatliligi sababli 

α

 va 

β

 ning ko’p 

qiymatli funksiyasi bo’ladi va u 2

i

κπ

 qo’shiluvchi aniqligida aniqlangan. 

 

2-m i s o l. 

i

i

 nimaga teng? 

 

Yechish. 











 +

=

κπ

π

2

2

i

i

ln

  bo’lganligi  uchun 











 +

−

=

κπ

π

2

2

e

i

i

.  Shunday 

qilib,  biz  qandaydir  ma’noda  paradoksal  natijaga  keldik,  ya’ni  «juda  mavhum» 

bo’lgan 

i

i

 ifodaning barcha qiymatlari haqiqiydir. ■ 

 

 

32

M A S H Q L A R 

 

89*. Limitni toping:  

n

n

n

bi

a













+

+

∞

→

1

lim

. 

90*.  Eyler  formulasiga  ko’ra  kompleks  sonlarni  ko’paytirishdagi 

argumentlarning qo’shilishi qoidasi nimaga o’tadi? Muavr formulasi uchun ham 

shunday savolga javob bering. 

91. Hisoblang:  

a) 

( )

e

ln

−

; b) 

( )

2

−

ln

; c) 

i

ln

; d) 

ln

( )

i

+

1

; e)

i

e

π

; f)

i

2

; q) 

i

i

−











 +

2

1

. 

92. Limitni toping: 

(

)

1

1

-

   

,

1

2

≤

≤

−

+

x

x

i

x

ln

. 

93*. arctgx ni logarifmik funksiya orqali ifodalang. 

 

 

 

JAVOBLAR. KO’RSATMALAR. YECHILISHLAR. 

 

1-§. 

 

1. a) 

i

7

3

+

; 

i

7

22

+

−

; b) 

i

i

24

21

  

;

10

8

−

−

−

; c) 10; 28.  

2. a) 

i

i

2

1

  

;

2

4

−

−

; b) 

(

) (

)

2

  

;

3

6

2

1

i

−

+

−

;  

c) 

i

b

a

b

a

b

a

b

a

i

b

+

+

+

−

2

2

2

2

   

,

2

. 

3. a) 

i

17

7

+

; b) 

i

11

10

−

; c) 

i

5

14

−

; d) 

i

+

5

;  

e) 

i

2

1

2

13

−

; f) 

i

5

27

5

11

−

; d) 4; h) 52 i; i) 2; j) 1. 

4. a) –2; b) 0. 

5. a) 0; b) 

17

11

−

. 

7. a) 

i

,    z

z

−

=

=

1

2

2

1

; b) 

∅

; c) 

(

)

2

2

2

1

i

z

i

z

−

+

=

.  

8. a) 1; b) n = 4

κ

 bo’lganda 0, n = 4

κ

 + 1 bo’lganda i; n = 4

κ

 + 2 bo’lganda i-1; n = 4

κ

 

+ 3 bo’lganda -1; c) –i. 

9. a) a

2 

+ b

2 

+ c

2 

- (ab + bc + ac); b) a

3 

+ b

3

;  

c) 

(

) (

)

.

12

3

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

abc

b

c

a

c

c

b

a

b

c

a

b

a

c

b

a

+

+

+

+

+

+

−

+

+

 

10. a)

i

−

−

1

; b) 

1

0

−

,

, 

i

2

3

2

1

±

; c) 

i

;  

d) 

i

z

2

1

2

15

1

+

=

,

i

z

2

1

2

15

2

+

−

=

; 

e) 

{

}

2

6

7

  

,

1

7

|

x

x

y

x

yi

x

−

−

±

=

≤

≤

−

+

; f) 

∅

. 

 

33

11. a) 

( )

i

+

±

1

; b) 

(

)

i

2

2

−

±

; c) 

(

)

i

−

±

2

; d) 

(

)

i

4

1

+

±

; e) 

(

)

i

6

5

+

±

;  

f) 

(

)

i

3

1

−

±

; g) 

















−

−

+

±

2

2

13

2

2

13

i

; h) 









−

±

2

1

2

3

i

;  

i) 

3

,

2

,

1

,

0

  

,

2

3

1

2

3

1

=









−

+

+

α

α

i

i

; j)

(

)

2

1

2

i

±

±

. 

12. a) x

1 

= 3-i; x

2 

= -1+2i ; b) x

1 

= 2+i,  x

2 

= 1-3i;   

c) x

1 

= 1-i; 

5

2

4

2

i

-

x

=

; d) x

1 

= 2-i, x

2 

= -2+i, x

3 

= 2+i,  x

4 

= -2-i;  

e) 

17

2

1

i

x

x

=

=

, 

17

4

3

i

x

x

−

=

=

; f) x

1 

= 3+2i, x

2 

= 1+i;  

g) 

i

x

2

11

2

5

1

+

−

=

, 

i

x

2

11

2

5

2

−

−

=

;  h) x

1 

= -i,  x

2 

= -1+i  

 

2-§. 

 

14. z

4 

= z

1 

+ z

3 

- 2z

2

.  

15. 

(

)

i

t

+

7

, t – ixtiyoriy musbat son.  

16. a) 

i

2

3

2

−

; b) 0,  3i, -3i; c) bi, 

R

∈

b

. 

17. 

i

6

5

6

7

+

 . 

18. 

i

4

17

2

3

−

−

; 

i

2

2

3

−

−

 . 

19. a) 

i

2

1

2

1

±

±

;   b) -1, 

2

3

2

1

i

±

;   

c) 

3

4

i

+

, 

3

2

3

i

+

, 

3

2

1

i

+

, 

3

  

,

1

  

,

3

i

.  

20. a) radiusi 1 ga teng va markazi koordinatalar boshiga joylashgan aylana;  

b)  koordinatalar  boshidan  chiquvchi  va  musbat  haqiqiy  yarim  o’q  bilan 

3

π

  ga  teng 

burchak hosil qiluvchi nur; 

s) radiusi 2 ga teng va markazi koordinatalr boshida bo’lgan yopiq doira;  

d) radiusi 1 ga teng bo’lib, markazi 1 + i nuqtaga joylashgan doiraning ichki qismi;  

ye) radiusi 5 ga teng bo’lib, markazi –3 - 4i nuqtaga joylashgan yopiq doira;  

f)  radiuslari  3  va  5  ga  teng  bo’lib,  markazlari  koordinatalar  boshiga  joylashgan 

aylanalar bilan chegaralangan halqaning ichki qismi;  

g)  radiuslari  1  va  2  ga  teng,  markazi  2i  nuqtaga  joylashgan  aylanalar  bilan 

chegaralangan halqa bo’lib, unga 1 radiusli aylana kiradi, 2 radiusli aylana kirmaydi;  

h)  koordinatalar  boshidan  o’tuvchi  va  musbat  haqiqiy  yarim  o’q  bilan 

6

π

−

  va 

6

π

 

burchaklar hosil qiluvchi nurlar hosil qilgan burchakning ichki qismi;  

i) 

1

±

=

x

 to’g’ri chiziqlar orasiga joylashgan polosa, bu to’g’ri chiziqlar ham kiradi;  

j) u = 1 to’g’ri chiziqlar;  

k) 

1

±

=

y

 ikki to’g’ri chiziq;  

 

34

l) 

1

±

=

+

y

x

 to’g’ri chiziqlar orasiga joylashgan polosaichki qismi;  

m) 

1

5

4

9

4

2

2

=

+

y

x

 ellips; 

n) 

1

7

4

9

4

2

2

=

−

y

x

  giperbola; 

o) u

2 

= 8x  parabola;  

p) mavhum o’qdan chapda yotuvchi ochiq yarimtekislik.  

21. i .  

22. 

i

5

16

5

12

+

.  

23. a) 

[ ]

B

A,

 kesmada, bu yerda A(-1,2), V(2,-1);  

b) nuqtalar 

10

2

+

−

=

x

y

 parabolaga joylashgan, bunda 

4

≥

y

.  

24. 

z

g

ar

z

g

ar

z

z

−

=

=

   

,

.  

25. s = 7+i, C(7,1).  

26. a) argz

1 

= argz

2; 

  b) argz

1 

= -argz

2

, 

2

1

z

z

≥

.  

27. Ko’rsatma. t ni  z orqali ifodalang va 

t

t

=

 bo’lishini isbotlang.  

28. a)

(

)

0

0

7

in

s

i

s

co

+

;     b) 













+

2

2

π

π

in

s

i

s

co

;  c) 

(

)

π

π

in

s

i

s

co

+

3

;  

d) 













+

2

3

2

3

5

π

π

in

s

i

s

co

;  e) 













+

3

3

2

π

π

in

s

i

s

co

; f) 













+

3

2

3

2

2

π

π

in

s

i

s

co

;  

g) 























−

+











−

3

3

2

π

π

in

s

i

s

co

; h) 













+

6

6

2

π

π

in

s

i

s

co

;   

i) 













+

π

π

6

5

6

5

2

in

s

i

s

co

; j) 























−

+











−

π

π

6

5

6

5

2

in

s

i

s

co

;   

k) 























−

+











−

6

6

2

π

π

in

s

i

s

co

; l) 













+

6

6

3

2

π

π

in

s

i

s

co

;           

m) 













+

+

12

12

3

2

2

π

π

in

s

i

s

co

 yoki 













+

+

12

12

2

6

π

π

in

s

i

s

co

;  

modul 

uchun 

ikkinchi 

ifodani 

hosil 

qilish 

uchun 

2

2

2

2

b

a

a

b

a

a

b

a

−

−

±

−

+

=

±

 formulani qo’llash lozim;  

n) 

(

)























−

+











−

+

π

π

12

5

12

5

3

2

2

in

s

i

s

co

; o) 

( )

( )

α

α

−

+

−

in

s

i

s

co

;  

p) 











 −

+











 −

α

π

α

π

2

2

in

s

i

s

co

; q)

α

α

2

2

in

s

i

s

co

+

;  

r) 













+

<

≤

2

2

2

2

   

,

0

α

α

α

π

α

in

s

i

s

co

s

co

; 

 

35













+