Alisher navoiy nomidagi

in

s

. 

33. Isbotlang: 

n

itg

n

itg

itg

itg

n

α

α

α

α

−

+

=









−

+

1

1

1

1

. 

34. Agar 

α

s

co

z

z

2

1

=

+

 bo’lsa, 

α

m

s

co

z

z

m

m

2

1

=

+

 bo’lishini isbotlang. 

35. 

(

)

n

ω

+

1

 ifodani soddalashtiring, bu yerda 

π

π

ω

3

2

3

2

in

s

i

s

co

+

=

. 

36. Ildizning qiymatlarini trigonometrik shaklda yozing:  

a) 

6

i ;  

b) 

(

)

10

3

1

512

i

−

;  c) 

( )

8

1

2

8

i

−

. 

37. Ildizning qiymatlarini algebraik shaklda yozing:  

a) 

3

1;  b) 

4

1;  c) 

6

1;  d) 

3

i ;  e) 

4

4

−

;  f) 

6

64 ;  g) 

8

16 ;   

h) 

6

27

−

;  i) 

4

8

3

8

−

i

;  j) 

(

)

4

3

1

72

i

−

−

;   k) 

3

1 i

+

;  l) 

3

2

2

i

−

;  

m) 

3

3

24

8

i

i

−

+

;   n) 

3

2

54

27

i

i

+

−

;   o) 

4

3

1

18

i

+

−

; p) 

(

)

4

3

1

9

32

i

−

−

. 

38. Tenglamani yeching: a) 

0

3

1

5

=

−

−

i

z

; b) 

0

64

6

=

+

z

. 

39. 

i

12

5

+

  va 

i

12

5

−

  sonlarning  haqiqiy  qismlari  manfiy  bo’lgan 

holda 

i

i

i

i

z

12

5

12

5

12

5

12

5

−

−

+

−

+

+

=

 sonning algebraik shaklini yozing. 

40. 

0

992

5

10

=

−

−

z

z

  tenglamaning  haqiqiy  qismlari  manfiy  bo’lgan 

yechimlarini toping. 

41. cos x va sin x lar orqali ifodalang:  

a) sin 6 x + cos 6 x; b) cos 8 x; c) sin 8 x. 

42. tg 7x ni tg x orqali ifodalang. 

43. tg nx  ni  tg x orqali ifodalang, bunda  n  –  butun musbat son. 

 

19

44*. 

nx

in

s

n

  va 

nx

s

co

n

  larni  (n  –  butun  musbat  son)  x  ga  karali 

burchaklarning  sinusi  va  kosinuslarining  birinchi  darajali  ko’phadi  ko’rinishida 

ifodalash mumkinligini isbotlang. 

45. x ga karrali burchaklar trigonometrik funksiyalarining birinchi darajali 

ko’phadlari ko’rinishida tasvirlang:  

a) 

x

in

s

3

;      b) 

x

in

s

4

;         c) 

x

s

co

5

;  

d) 

x

s

co

6

;     e ) 

x

s

co

x

in

s

5

3

;  f) 

x

sin

x

cos

7

7

+

. 

 

4-§. Yig’indi va ko’paytmalarni kompleks 

 sonlar yordamida hisoblash 

 

 

1-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:  

1

3

1

4

2

2

..

...

1

−

=

+

+

=

+

+

+

n

n

n

n

n

C

C

C

C

. 

Yechish. Nyuton binomini qo’lab quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:  

( )

0

)

1

1

(

)

1

...(

1

    

,

2

1

1

...

1

3

2

1

1

3

2

1

=

−

=

−

+

−

+

−

=

+

=

+

+

+

+

+

+

−

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

C

C

C

C

C

C

C

C

C

 

    

0

)

1

1

(

)

1

...(

1

3

2

1

=

−

=

−

+

−

+

−

n

n

n

n

n

n

n

C

C

C

C

. 

Bu  tengliklarni  hadlab  qo’shib,  undan  keyin  ayirib,  kerakli  ayniyatni  hosil 

qilamiz. ■ 

 

2-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:  













+

=

+

+

+

3

рn

2cos

2

3

1

....

C

C

C

n

6

n

3

n

0

n

. 

Yechish. Quyidagi tenglikni qaraymiz:  

(

)

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

C

x

C

x

C

x

C

x

C

C

x

+

+

+

+

+

+

=

+

−

−

1

1

3

3

2

2

1

0

...

1

. 

Bu  tenglikga  ketma-ket  x  =  1, 

2

,

ε

ε

  larni  qo’yamiz,  bu  yerda 

0

1

2

=

+

+

ε

ε

. Natijada quyidagi tengliklar hosil bo’ladi: 

(

)

(

)

...

1

...,

1

...,

2

6

3

4

3

2

1

0

2

3

3

2

2

1

0

3

2

1

0

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

 

Lekin k son 3 ga bo’linmaganda 

0

1

2

=

+

+

κ

κ

ε

ε

, k son 3 ga bo’linganda 

esa 

3

1

2

=

+

+

κ

κ

ε

ε

  bo’ladi.  Shuning  uchun  yuqoridagi  tengliklarni  hadlab 

qo’shib,  

(

)

(

) {

}

...

3

1

1

2

6

3

0

2

+

+

+

=

+

+

+

+

n

n

n

n

n

n

C

C

C

ε

ε

 

tenglikni hosil qilamiz. 

3

2

sin

3

2

cos

π

π

ε

i

+

=

 deb olish mumkin bo’lganligi uchun  

 

20

.

3

3

3

2

3

2

1

  

,

3

3

3

4

3

4

1

2

2

π

π

π

π

ε

ε

π

π

π

π

ε

ε

in

s

i

s

co

in

s

i

s

co

in

s

i

s

co

in

s

i

s

co

−

=

−

−

=

−

=

+

+

=

−

−

=

−

=

+

 

Shuning uchun 

(

)

(

)

3

cos

2

2

1

1

2

2

π

ε

ε

n

n

n

n

n

+

=

+

+

+

+

. Bu yerdan  













+

=

+

+

+

3

cos

2

2

3

1

...

6

3

0

π

n

C

C

C

n

n

n

n

. ■ 

 

3-m i s o l. Tenglikni isbotlang: 

 

(

)

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

...

2

...

2

1

C

C

C

C

n

n

n

n

+

+

+

=

+

+

+

−

+

. 

Yechish. 

(

)

2

2

2

1

1

2

2

κ

κ

κ

κ

κ

−

=

⋅

−

=

C

 bo’lganligi uchun 

κ

κ

κ

−

=

2

2

2C

. 

Shuning uchun 

∑

∑

∑

=

=

=

−

=

n

n

n

k

k

C

2

2

2

2

2

2

κ

κ

κ

κ

.  

Bundan yuqoridagi ayniyat kelib chiqadi. ■ 

 

4-m i s o l. Yig’indini hisoblang: 

...

1

6

4

2

+

−

+

−

=

n

n

n

C

C

C

δ

  

Yechish. 

( )

....

1

1

3

3

2

2

1

+

+

+

+

=

+

i

C

i

C

i

C

i

n

n

n

n

 ifodani qaraymiz. Bundan   

( )

(

) (

)

....

...

1

1

5

3

1

4

2

−

+

−

+

−

+

−

=

+

n

n

n

n

n

n

C

C

C

i

C

C

i

. 

Lekin 

( )













+

=

+

4

sin

4

cos

2

1

π

π

i

i

. Shuning uchun 

4

cos

2

...

1

2

6

4

2

π

δ

n

C

C

C

n

n

n

n

=

+

−

+

−

=

 . 

Bu  yerdan  n  =  4m  bo’lganda 

( )

m

m

2

2

1

−

=

δ

,  n  =  4m+1  bo’lganda 

( )

m

m

2

2

1

−

=

δ

,  n  =  4m+3  bo’lganda 

( )

1

2

1

2

1

+

+

−

=

m

m

δ

,  n  =  4m+2  bo’lganda 

0

=

δ

 bo’lishi kelib chiqadi. ■ 

5-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:     

.

1

1

2

1

1

...

3

1

2

1

1

1

2

1

+

−

=

+

+

+

+

+

+

n

C

n

C

C

n

n

n

n

n

 

Yechish. Quyidagi ko’phadni qaraymiz: 

(

)

1

1

1

2

2

1

1

1

1

...

1

1

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

n

n

n

n

n

n

x

C

x

C

x

C

x

. 

Bundan  

(

)

1

3

2

2

1

0

1

1

...

2

2

1

1

1

+

+

+

+

+

+

+

=

+

−

+

n

n

n

n

n

n

n

x

n

C

x

C

x

C

x

C

n

x

     (*). 

Bu tenglikka x = 1 ni qo’yib, izlanayotgan ayniyatni hosil qilamiz. ■ 

6-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:  

1

1

2

1

...

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

C

C

C

C

C

κ

κ

. 

Yechish. Tenglikning chap tomonidagi ifoda 

 

21

(

) (

)

(

)

(

)

κ

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

n

n

n

n

x

x

x

x

S

1

...

1

1

1

2

1

  

ko’phaddagi  x

n

  oldidagi  koeffisiyentdan  iborat.  Bu  ko’phadni  quyidagicha 

almashtiramiz: 

(

)

(

) (

)

(

)

[

]

(

) (

)

(

)

(

)

[

]

.

1

1

1

1

1

1

1

...

1

1

1

1

1

1

2

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

S

+

−

+

=

=

−

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

κ

κ

κ

 

kvadrat  qavs  ichidagi  ko’phadda 

1

+

n

x

  oldidagi  koeffisiyent 

1

1

+

+

+

n

n

C

κ

  ga  teng 

bo’ladi. ■ 

7-m  i  s  o  l.   

p

n

m

m

p

n

p

m

n

p

m

n

C

C

C

C

C

C

C

+

−

=

+

+

+

0

1

1

0

...

  tenglik  o’rinli  bo’lishini 

ko’rsating. 

Yechish. Quyidagi ko’phadlarni qaraymiz:  

(

) ∑

=

=

+

n

s

s

s

n

n

x

C

x

0

1

, 

(

) ∑

=

=

+

m

t

t

t

m

m

x

C

x

0

1

. 

U holda: 

(

) (

)

(

)

∑

∑

∑

+

+

=