Alisher navoiy nomidagi

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Bog'liq
kompleks sonlar nazariyasi

+

p

p

n

m

m

n

m

t

t

t

m

n

s

s

s

n

m

n

x

C

x

x

C

x

C

x

x

tenglikdan talab qilinayotgan tenglik kelib chiqadi. ■

8-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:

( ) ( ) ( )

( )

n

n

n

n

n

n

n

C

C

C

C

C

...

.

Yechish.

(

) (

)

n

n

n

x

x

x

ko’paytmani qaraymiz. Bu ko’paytmani

quyidagicha yozish mumkin:

∑

∑

∑

=

n

k

n

n

t

t

t

n

n

s

s

s

n

x

C

x

C

x

C

Bu yerdan

∑

=

+

t

s

t

n

s

n

n

C

C

C

Natijada,

( )

∑

∑

∑

−

n

s

n

s

s

n

s

n

n

s

n

n

t

s

t

n

s

n

n

n

C

C

C

C

C

C

. ■

9-m i s o l. Tenglikni isbotlang:

(

)

∑

−

2

m

m

m

m

m

m

C

m

s

co

C

s

co

.

Yechish.

(

) (

)

sin

cos

sin

cos

ϕ

i

−

tenglikda

z

in

s

i

s

co

deb olamiz. U holda

−

−

z

in

s

i

s

co

−

∑







 +

=

m

m

m

m

m

m

z

z

C

z

z

s

co

Bundan

(

)

(

)

∑

−

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

z

C

C

z

C

s

co

Ikkinchi

yig’indida

(

)

1

k

m

k

m

−

deb olamiz. U holda bu yig’indi quyidagi

ko’rinishga keladi:

(

)

(

)

∑

−

m

m

m

m

m

m

m

z

C

z

C

Shunday qilib,

(

)

(

)

(

)

∑

−

m

m

m

m

m

m

m

m

C

z

z

C

s

co

Lekin

(

)

(

)

(

)

k

m

s

co

Z

Z

m

m

−

. Shuning uchun

(

)

∑

−

cos

2

m

m

m

m

m

m

C

m

C

. ■

10-m i s o l. Tenglikni isbotlang:

(

)

(

)

Z

∈

≠

+

k

k

in

s

n

in

s

n

in

s

n

in

s

in

s

in

s

...

.

Yechish.

ϕ

n

s

co

s

co

s

co

A

...

yig’indini kiritamiz. U holda

isbot qilinayotgan tenglikning chap tomonini B orqali belgilab

(

) (

)

(

)

inn

s

i

n

s

co

in

s

i

s

co

in

s

i

s

co

Bi

A

...

ni hosil qilamiz.

Bu geometrik progressiya hadlarining yig’indisidan iborat. Quyidagi

belgilashni kiritamiz:

sin

cos

. U holda

...

−

n

n

Bi

A

Oxirgi kasrning surat va maxrajida

ning shunday darajalarini qavsdan

tashqariga chiqaramizki, qavs ichida

ning qarama-qarshi ko’rsatkichli

darajalarining ayirmasi qolsin (buning mumkin bo’lishi uchun biz

sin

cos

ni emas

sin

cos

ϕ

i

ni belgilardik):

(

)

(

)

−

α

n

n

n

Bi

A

(

)

sin

cos

sin

cos

























−

n

i

n

n

i

n

i

n

i

n

n

n

n

Bu yerdan

(

)

sin

=

n

n

B

ni va bir vaqtda

(

)

ϕ

in

s

n

cos

n

in

s

A

ni hosil qilamiz. ■

Xuddi shunday

n

n

b

a

b

a

b

a

cos

...

cos

n

n

b

a

b

a

b

a

sin

...

sin

yig’indilarni ham hisoblash mumkin, agar

n

b

b

b

,...,

argumentlar arifmetik

progressiyani,

n

a

a

a

,...,

koeffisiyentlar esa gometrik progressiyani tashkil

etsa.

M A S H Q L A R

46*. Tengliklarni isbotlang:

2

2

...

−

n

n

n

n

n

C

C

C

, agar n

−

juft bo’lsa;

...

−

+

n

n

n

n

C

C

, agar n

−

toq bo’lsa.

47*. Tengliklarni isbotlang:

(

)













−

⋅⋅

⋅

π

n

s

co

C

C

C

n

n

n

n

;

(

)













−

⋅⋅

⋅

π

n

s

co

C

C

C

n

n

n

n

48*. Quyidagi yig’indini hisoblang:

...

−

n

n

n

n

C

C

C

C

49*. Ayniyatni isbotlang:

(

)

....

−

+

n

n

C

C

C

C

C

n

n

n

n

n

n

n

n

50*. Ayniyatni isbotlang:

( )

)

...(

−

−

n

n

n

n

n

C

C

C

C

C

51*.

(

)(

)

...

−

n

n

n

C

C

C

C

C

C

n

n

n

n

n

n

n

n

tenglik

o’rinli

bo’lishini ko’rsating.

52*. Ayniyatni isbotlang:

( ) ( ) ( )

( )

( )

n

n

n

n

n

n

n

n

C

C

C

C

C

...

−

;

( ) ( ) ( )

( )

...

−

n

n

n

n

n

C

C

C

C

53*. Quyidagi tengliklarni isbotlang:

( )

(

)

∑

−

2

m

m

m

m

m

m

m

C

m

s

co

C

in

s

;

(

)

∑

−

m

m

m

m

m

s

co

C

s

co

;

( )

(

)

∑

−

m

m

m

m

m

m

C

sin

54*. Tengliklarni isbotlang:

(

)

cos

...

cos

−

+

n

n

n

n

n

;

(

)

sin

...

sin

−

+

n

n

n

n

n

55*. Yig’indilarni toping:

(

)

x

n

C

x

C

x

n

n

n

cos

...

cos

;

(

)

x

n

C

x

C

x

n

n

n

sin

...

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